Wie groß ist die aus der Massendifferenz resultierende Zeitdilatation zwischen Mars und Erde?

Aus meiner Antwort auf die Parker Solar Probe, die extrem nahe an der Sonne vorbeizieht; Welche relativistischen Effekte wird es erfahren und wie groß werden sie sein? :

Von hier (oder hier , wenn Sie ehrgeizig sind) sind die Terme niedrigster Ordnung für die relativistische Frequenzverschiebung einer Uhr in der Umlaufbahn um einen Gravitationskörper:

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} = -\frac{GM}{r c^2} - \frac{v^2}{2c^2},$$

wobei der erste Term die Gravitationsverschiebung und der zweite die Zeitdilatation ist.

Einstecken des Standard-Gravitationsparameters $GM$und Radius$r$des Mars in den Begriff$-\frac{GM}{r c^2}$Ich bekomme 1.4E-10.

Das bedeutet, dass die Verschiebung der Geschwindigkeit einer Uhr aufgrund der Oberflächengravitation des Mars -0,14 Teile pro Milliarde beträgt. Für die Erde sind es -0,69 ppb.

Aber das Problem ist komplizierter. Lassen Sie uns also einige weitere Korrekturterme hinzufügen.

Mars und Erde bewegen sich schnell im Orbit um die Sonne und befinden sich im Gravitationspotential der Sonne. Schauen wir uns die relativen Größen dieser Begriffe an:

                              All values x1E-09
        local gravity  local rotation     Sun's gravity      orbital velocity 
Mars       -0.140          -0.0003            -6.478                -3.239
Earth      -0.695          -0.001             -9.870                -4.935

Um die Frage zu beantworten: -0,140 minus -0,695 gleich +0,555 Teile pro Milliarde , nur aufgrund der lokalen planetaren Gravitation; Dinge sind auf dem Mars um 555 Teile pro Billion schneller als auf der Erde.

Aber die großen Effekte haben mit den heliozentrischen Bahnen zu tun.

-0,140 + -0,0003 + -6,478 + -3,239 minus -0,695 + -0,001 + -9,870 + -4,935 ergibt +5,644.

Insgesamt: Die Zeit ist auf dem Mars im Vergleich zur Erde um etwa 5,6 Teile pro Milliarde schneller, aber das liegt hauptsächlich daran, dass die Umlaufbahn der Erde näher an der Sonne liegt .

Vergleichen Sie das mit ungefähr ~430 Pars pro Milliarde (ein halber ppm) für die Parker Solar Probe, wenn sie nahe an der Sonne schwingt!

Dies sind typische Werte und sollen nicht auf die Anzahl der angezeigten Dezimalstellen genau sein, da sich sowohl die Erde als auch der Mars auf elliptischen Bahnen bewegen und sich daher jeder mit der Zeit unterschiedlich ändert. Ich habe die Gleichungen in dieser Antwort unter Einbeziehung der Vis-Viva-Gleichung für eine bequemere Form umgeschrieben, die unten gezeigt wird, aber es wäre besser, die richtigen Zustandsvektoren zu verwenden.

Bearbeiten: Wie würde dieser Frequenzunterschied gemessen werden?

Eine Möglichkeit wäre, auf jedem Planeten eine ultrastabile Uhr zu platzieren, die jede Sekunde (Ortszeit) einen Impuls aussendet, der einen Laser ins All feuert. Ein Schiff konnte die Differenz zwischen den beiden messen, um die Lichtzeit zu korrigieren, die der Laser benötigte. Wie das OP nach einem Jahr berechnet, würde der Unterschied etwa 0,17 Sekunden betragen.

Wenn Sie jedoch anfangen, herumzufliegen, um jede Uhr selbst zu überprüfen und sie mit Ihrer tragbaren, ultrastabilen Uhr zu vergleichen, wird das Problem viel komplizierter zu lösen, und jenseits dessen, was ich mit Zuversicht erklären kann ... okay, absolut nicht einmal ein bisschen erklären können. ;-)