Wie kommen wir auf die Formel für die Schwerkraftunterstützung (oder Schleuder)?

Sie erhalten diese Formel einfach mit dem Satz des Pythagoras, der auch als Vektoraddition bekannt ist. Der Link bietet bereits$v_{2x}=v_1\cos\theta+2u$und$v_{2y}=v_1\sin\theta$. Dann berechnen Sie einfach die Größe$v_2=\sqrt{v_{2x}^2+v_{2y}^2}$.

Normalerweise ist der Körper, der im Diagramm als rote Scheibe dargestellt ist, viel, viel, viel massiver als das Ding, das der schwarzen gekrümmten Flugbahn folgt. In diesem Fall hat die Masse des kleineren Objekts keinen Einfluss auf die Flugbahn.

Was die "Höhe" anbelangt, so bestimmt die kürzeste Annäherungsentfernung vom Mittelpunkt des Körpers zusammen mit der Annäherungsgeschwindigkeit und Masse des großen Körpers$\theta$. Siehe diese Antwort für die Berechnung. ($\delta$Es gibt$\pi-2\theta$hier). Es ist natürlich wichtig, dass der kleinste Annäherungsabstand von der Körpermitte größer ist als der Radius des Körpers, damit Sie nicht einen sehr heftigen und extrem kurzlebigen Vorbeiflug haben.

Wir müssen den Begriff Relativgeschwindigkeit im Auge behalten. Wobei Vi die relative Anfangsgeschwindigkeit und Vf die relative Endgeschwindigkeit ist.

Vi = V1 + U

Vf = -V2 + U

Da Vi = -Vf dann V1 + U = V2 - U ; Nachdem wir etwas einfache Algebra gemacht haben, erhalten wir V2 = V1 + 2U Wobei V2 die Endgeschwindigkeit des Space Shuttles ist, V1 die Anfangsgeschwindigkeit und U die Umlaufgeschwindigkeit des Planeten ist, dem sich das Space Shuttle genähert hat, um eine Schleuder auszuführen.

^{Es ist aufschlussreich, die Begegnung des relativ zum Planeten 2} ruhenden Inertialsystems zu analysieren ; Dieses Inertialsystem bewegt sich mit der Geschwindigkeit des Planeten$U$relativ zum "ruhenden" Beobachter. Dies ist möglich, weil sich die Physik nicht ändert, wenn wir sie von einem anderen Inertialsystem aus betrachten.

Aus Sicht des Planeten ist die Begegnung unspektakulär: Eine kleine Sonde nähert sich, vollführt eine Kehrtwende und verlässt sie dann mit der gleichen Geschwindigkeit, die wir ^{1 nennen}$v_{rel}$(vor Relativgeschwindigkeit , relativ zum Planeten).

Wandeln Sie nun die relativen Geschwindigkeiten der Sonde in die um, die ein "ruhender" Beobachter sieht, indem Sie einfach die Bewegung des Planeten kompensieren, indem Sie seinen Geschwindigkeitsvektor subtrahieren. Das heisst

• subtrahieren Sie die Geschwindigkeit des Planeten von der sich nähernden Sonde (weil seine Annäherung vom Planeten aus schneller beobachtet zu sein scheint, als er "tatsächlich" ist, da sich der Planet "tatsächlich" auf ihn zubewegt);
• und fügen Sie die Geschwindigkeit des Planeten der verlassenden Sonde hinzu (ihr Abgang vom Planeten erscheint langsamer, weil der Planet ihr folgt).

Voilà, das Ergebnis: Die Geschwindigkeit der sich nähernden Sonde aus Beobachtersicht ist$v_{rel}-U$und die Abfahrtsgeschwindigkeit ist$v_{rel}+U$, ein Unterschied von 2U.

Dieser Mechanismus lässt gestapelte Bälle hoch springen und kann, wie die verlinkte Seite zeigt, mit der gleichen Änderung der Inertialsysteme verstanden werden.

_{² Der Planet befindet sich auf einer Ellipsenbahn, also streng genommen nicht Ursprung eines Inertialsystems; aber der Fehler während der kurzen Begegnung ist gering. Schließlich betrachten wir normalerweise Physikunterrichtsräume als Inertialsysteme, obwohl sie es mit Sicherheit nicht sind ...}