Wie leitet man die Gleichung für die Schallgeschwindigkeit her?

Diese Ableitung wird oft vernachlässigt, weil sie (für eine nicht-graduierte Präsentation) etwas in Newtons Denkweise mit expliziten Kräften verwickelt ist, obwohl Newton es so gemacht hat, und sie ein wenig zu trivial ist, wenn Sie Spannungstensorkonzepte verwenden. Ich werde das Spannungstensorkonzept verwenden.

Impuls ist eine Erhaltungsgröße, und Sie sollten mit dem Erhaltungssatz in Differentialform vertraut sein:

$$\partial_t \rho + \partial_i J^i = 0$$

Wo der wiederholte i-Index summiert wird (Einstein-Konvention). Am deutlichsten wird dies in der Raumzeit, wo die Dichte$\rho$wird die Zeitkomponente eines 4-Vektors, aber es ist genauso wahr in der Galileischen Newtonschen Mechanik.

Für den Impuls haben Sie drei separate konservierte Impulsdichten$p^i$die einem Erhaltungssatz gehorchen:

$$\partial_t p^j + \partial_i T^{ij} = 0$$

Wo die Interpretation von$T^{ij}$ist, dass es der Fluss der i-ten Komponente von p in j-Richtung ist. Es gibt drei Gleichungen, da es drei separate Erhaltungsgrößen gibt – den x-, y-, z-Impuls.

Wenn Sie einen Luftbereich komprimieren, erhalten Sie etwas mehr Druck. Die Form des Drucks ist eine diagonale Spannungsdichte durch Rotationssymmetrie (es ist auch intuitiv – Druck wird herausgedrückt – also geht der x-Impuls in die x-Richtung, der y-Impuls in die y-Richtung und so weiter). .

Die Spannung T für einen Druck ist daher

$$T^{ij} = P(\rho) \delta^{ij}$$

Wenn das Material an Position x beginnt (an jedem x gibt es ein anderes infinitesimales Materialvolumen) und das Material, das bei x wäre, wenn alles stillsteht, zur Zeit t nach x+\delta X(x,t) bewegt wird, dann die Impulsdichte ist

$$p^{i} = \rho {\partial_t X(x,t)}$$

Vorausgesetzt$\rho = \rho_0(1 - \delta v)$wobei die infinitesimale Volumenkompression, die die Dichteänderung ergibt, durch die Divergenz von X gegeben ist (dies ist geometrisch klar, wenn man ein Bild zeichnet, oder einfach aus der Definition der Divergenz)

$$\delta v = \partial_j X^j$$

In erster infinitesimaler Ordnung, dann ist der Druck

$$P (\rho) = P(\rho_0) - C\delta v = P(\rho_0) - C \partial_i X^i$$

Wo$C= {dP\over d\rho}$

Betrachten Sie nun der mathematischen Bequemlichkeit halber (ich möchte mich nicht mit transversalem Schall befassen) die Reduzierung auf eine Dimension. In diesem Fall ist X(x) nur eine eindimensionale Funktion, die Ihnen die Verschiebung angibt, und die Spannung ist gerecht$T^{11} = \rho_0 \partial_x X$(der Fluss des x-Impulses in x-Richtung).

Die Kontinuitätsgleichung in 1d gibt Ihnen

$$\rho_0 \partial^2_t X - \rho_0 C \partial^2_x X = 0$$

Und dies ist die Wellengleichung mit der Schallgeschwindigkeit im Quadrat gleich C. Sie können die 1d-Analyse mit detaillierten Kräften wiederholen, ohne die etwas abstraktere Kontinuitätsgleichung zu verwenden, und so hat Newton vor langer Zeit die Schallgeschwindigkeit ermittelt .

Zu sehen, dass die obige eindimensionale Gleichung Wellen beschreibt, die sich mit einer Geschwindigkeit bewegen$\pm \sqrt{C}$, betrachten Sie die funktionale Form einer solchen Welle, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegt:

$$\phi(x,t) = f(x-ct)$$

wobei f eine Funktion einer abhängigen Variablen ist. Differenziere zweimal in der Zeit

$$\partial^2_t \phi = c^2 f''$$

und zweimal im Raum:

$$\partial^2_x \phi = f''$$

und Sie sehen, dass es die Wellengleichung erfüllt:

$$\partial^2_t \phi - c^2 \partial^2_x \phi = 0$$

Die allgemeine Lösung der 1d-Gleichung kann als Summe einer sich nach links bewegenden und einer sich nach rechts bewegenden Welle ausgedrückt werden. Dies kann verwendet werden, um beliebige Anfangsbedingungen von abzugleichen$\phi$und$\partial_t\phi$, und ist daher die allgemeine Form. Sie können die allgemeine Lösung aus einer systematischen allgemeinen Theorie unter Verwendung von Fourier-Transformationen ableiten, indem Sie ebene Wellen betrachten.

Die andere Antwort folgt https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_47.html , ist aber etwas langwierig und es fehlen noch einige Schritte, z. B. wie man die relative Phase zwischen der Position eines Sprechers (oder was auch immer) findet Ton erzeugen) und Druck. Die andere Antwort behauptet, dass, ähnlich wie bei einem handwinkenden Argument, „Dies kann verwendet werden, um alle Anfangsbedingungen von ϕ und ∂tϕ abzugleichen …“ Sie ignoriert und verkleinert tatsächlich, was diese Bedingungen wären. Ganze Kursabschnitte, wie zum Beispiel Elektromagnetismus, basieren auf der Lösung von Randbedingungen und Zeigerbeziehungen, daher lohnt es sich auch, sie für ein vollständigeres Verständnis der Schallausbreitung herzuleiten und nicht nur aufzuhören, wenn wir eine etwas vage Schallgeschwindigkeitsbeziehung erhalten.

Stellen Sie sich einen Kolben vor, der in der Lage ist, eine lange Säule aus komprimierbarem Gas, Flüssigkeit usw. zu drücken$t\leq0$der Kolben ist in Ruhe und hat einen Abstand von$0$von einer Stütze, die meist als Bezugspunkt dient. Dann bei$t=0$der Kolben wird mit einer Geschwindigkeit von schnell nach rechts beschleunigt$v_p$(bei dem die$p$ist für Kolben ). Gas ganz rechts ist unkomprimiert und ruht noch, während sich Gas in der Nähe des Kolbens mit einer Geschwindigkeit von bewegt$v_p.$Definitionsgemäß liegt die Grenze der Druckunstetigkeit in einem Abstand$tc$vom Kolben, wo$c$ist die Schallgeschwindigkeit. Hier, dargestellt durch die grüne Linie/den Kreis unten, wird es eine Druckunterbrechung von geben$\Delta P$:

Der Abstand zwischen den roten Linien beträgt$v_p t$, so nimmt dieses Bild an$c\sim 15v_p.$

Es ist wichtig zu erkennen, dass sich die grüne Linie mit hoher Geschwindigkeit bewegt$c$entspricht nicht der Bewegungsgeschwindigkeit irgendeines Massengases. Vielmehr ist es nur eine imaginäre/virtuelle Grenze, die angibt, wo die Druckunterbrechung auftritt und auch wo das Gas plötzlich von einem Stillstand zu einer Geschwindigkeit von übergeht$v_p$.

Die Kraft, die der Kolben auf das Gas ausüben muss, ist gerade auf das gestörte Gas gerichtet. es ist$F={d\over dt}(p=mv_p),$wo$m$ist die Masse des gestörten Gases und$p$ist sein Schwung.$=F=\dot{m}v_p+m\dot{v_p}=\rho A c v_p+0$wo$A$ist die Querschnittsfläche des Rohres und$\rho$ist die ungestörte Dichte, da wir die Gasmasse links von der grünen Linie für zeitlich zurückliegendes Gas verwenden können$t=0$um es zu messen, anstatt die unter Druck stehende Dichte und die aktuelle Zeit zu verwenden. Dies ist jedoch nicht erforderlich, da der Dehnungs- oder Kompressionsfaktor einfach zu berechnen ist. Es ist nur

$${\Delta V\over V}={A(ct-v_p t)-Act\over Act}=-v_p/c,$$ wo$V$bezeichnet Volumen. Diese Dehnung entspricht einer Druckerhöhung von$\Delta P$nur auf der linken Seite des gestörten Gases. Dies gibt dem gestörten Gas eine Kraft von

$$F=\Delta P A=\rho A c v_p$$

All dies geht in die Beschleunigung nur des neu gestörten Gases ein.

Der Zweck des obigen Szenarios besteht darin, die Dinge zu verlangsamen, aber in realen Anwendungen haben wir es eher mit hochfrequenten (~1 kHz) Schwingungen zu tun. In dieser Situation können wir von einer adiabatischen Kompression ausgehen , wobei$PV^\gamma=$Konstante. Taylor, der diese Beziehung erweitert, gibt$\Delta P/P=-\gamma \Delta V/V.$Verwenden Sie dies, um zu beseitigen$\Delta P$aus der Kraftgleichung ergibt

$$F= -\gamma {\Delta V\over V} P A = \gamma {v_p\over c} P A = \rho A c v_p$$ $$c^2={\gamma P\over \rho}$$ $$c=\sqrt{\gamma R_s T}=\sqrt{\gamma kT/\bar m},$$ wobei ich ein in der Chemie beliebtes Gasgesetz verwendet habe, um die Dichte zu eliminieren. Zur Kontrolle, für Luft haben wir$\gamma=1.4,$ $R_s=\rm 8.314463 J·K^{−1}·mol^{−1} / (0.02896 \ kg \ mol^{-1})$,$T=270 \rm K$, Also$c$= 737 Meilen pro Stunde vs. 767 mph aus dem Google-Snippet.

Bisher sind wir davon ausgegangen$v_p(t)\propto u(t),$wo$u$ist die Stufenfunktion. Wenn stattdessen$v_p(t)=v_{p0}\sin(wt=2\pi t/T),$Wie bei einer traditionellen Schallquelle wie einem Lautsprecher oder einer Stimmgabel, was würde dann passieren? Aus der obigen Analyse wissen wir, dass die Druckwellenintensität mit der Bewegungsgeschwindigkeit im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit skaliert. Anstatt dass der Druck beispielsweise mit der Position in Phase ist, wäre er stattdessen mit seiner Ableitung, der Geschwindigkeit, in Phase; Wenn ein Lautsprecher Ihnen am nächsten ist, erzeugt er den geringsten Ton. Außerdem würde die Druckwelle der vorherigen Analyse nicht weit vom Kolben folgen können. Vielmehr müsste es in Bezug auf die physische Ausdehnung, Größe und vibrierende Luftmasse in einer Entfernung oder Wellenlänge von am weitesten rechts begrenzt werden$\lambda=cT$vom Kolben; Die glatte Druckform (keine scharfe Diskontinuität mehr) würde im linearen Bereich immer noch die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit nach rechts behalten, aber wenn man sich weiter wegbewegt, würde sie eine Zeitverzögerung von erhalten$x/c=xk/w$mit$\Delta P=\Delta P_0\sin(wt-kx)=-\Delta P_0\sin(kx-wt),$wo$-kx$offenbart, dass der ferne Zuhörer alte Schwingungen hört.

Natürlich kann jede beliebige Wiederholungsfunktion in eine Fourier-Reihe erweitert werden ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series ), und dies ist die einzige erforderliche Komponente dafür. Somit können wir durch Überlagerung den Kolben entfernen und stattdessen durch eine beliebige Schallquelle ersetzen und das gleiche Ergebnis unter der Annahme von Linearität erhalten. Dagegen sind nichtlineare Effekte von z . B. ,$v_p\simeq c$,$\omega\simeq 0$(nicht-adiabatisch) usw. wäre ebenfalls möglich, wobei dies nicht unbedingt zutrifft und es zB eine frequenzabhängige Ausbreitungsgeschwindigkeit geben könnte.

Wenn Sie diese Ableitung der Schallgeschwindigkeit verwenden, seien Sie bitte so freundlich, mir Anerkennung zu zollen, obwohl meine Beiträge zur Kernidee nicht so bedeutend waren.