Ich versuche, eine Formel zu bekommen, um die Zustandsvektoren zu berechnen Und auf einer Umlaufbahn, bei einer echten Anomalie . Ich folge dem hier beschriebenen Prozess: https://downloads.rene-schwarz.com/download/M001-Keplerian_Orbit_Elements_to_Cartesian_State_Vectors.pdf . Der erste Berechnungsschritt beinhaltet die Berechnung der einfachen Zwischenzustandsvektoren Und Verlegung in der xy-Ebene (die dann im Raum gedreht werden, um zu bekommen Und bzw) :
mit .
Dies funktioniert gut bei einer elliptischen Umlaufbahn, ist aber bei einer hyperbolischen deswegen ungültig Und ergebend Und undefiniert sein.
Im Fall einer hyperbolischen Umlaufbahn habe ich die zweite Antwort aus diesem Beitrag angepasst: Berechnung des Geschwindigkeitszustandsvektors mit Umlaufbahnelementen in 2D zu berechnen mit dem Flugbahnwinkel , den Drehimpuls kennen . Wir berechnen zuerst den radialen Einheitsvektor des Zwischenpositionsvektors und der Einheitsvektor senkrecht zu in der xy-Ebene:
Wir berechnen dann sin und cos des Flugbahnwinkels:
mit ist die Größe der Geschwindigkeit, berechnet aus der vis-viva-Gleichung . Und schließlich erhalten wir den Zwischengeschwindigkeitsvektor:
Gibt es einen besseren, einfacheren Weg, um diesen Zwischengeschwindigkeitsvektor im Fall einer hyperbolischen Umlaufbahn zu berechnen? Eine, die kein Wissen erfordert . Gibt es beispielsweise eine ähnliche Formel wie im PDF, die die hyperbolische exzentrische Anomalie verwendet? ?
Vielen Dank im Voraus.
Nach einigen mathematischen Manipulationen fand ich schließlich eine tatsächliche Lösung, die die hyperbolische Anomalie nutzt .
Im Folgenden, ist die Exzentrizität der Umlaufbahn, ist die wahre Anomalie und ist die große Halbachse.
Dieser kleine Beweis soll nur zeigen, wie man die Gleichheit aus den bekannten Formeln der exzentrischen Anomalien herausholen kann.
Für eine Ellipsenbahn ( ), die exzentrische Anomalie ist definiert durch:
Für eine hyperbolische Umlaufbahn ( ), die hyperbolische Anomalie (auch geschrieben ) ist definiert durch:
Bei einer hyperbolischen Umlaufbahn führt zu einer undefinierten Definition von in (1) wegen des Quadratwurzelterms. Daher die Notwendigkeit, sein hyperbolisches Äquivalent (2) zu verwenden. Betrachtet man jedoch die Beziehung (1) in durch Einbeziehung ermöglicht eine komplexe Definition von :
wobei wir den rechten Term von (2) bemerken. Dies ist tatsächlich direkt verknüpft Und von:
Die Beziehungen zwischen hyperbolischen und trigonometrischen Funktionen ergeben:
was, wenn es auf (3) angewendet wird, zu Folgendem führt:
Und da ist bijektiv weil es proportional ist , wir folgern daraus:
im Fall einer hyperbolischen Umlaufbahn mit (und deshalb ).
Die von René Schwarz beschriebene Gleichung zur Berechnung des Zwischengeschwindigkeitsvektors (ohne Berücksichtigung der z-Komponente mit dem Wert 0) lautet:
Wir nehmen daher jetzt eine hyperbolische Umlaufbahn an Und . Daher kann (5) nicht direkt verwendet werden, weil Und sind undefiniert in . Indem man die Tatsache nutzt, dass Und , unter Berücksichtigung der Gleichung in gibt:
Weil
Und
.
Endlich einbeziehen
, und die Tatsache, dass
ist sogar und
ungerade ist , erhalten wir:
mit geschrieben als zur Klarheit.
Diese Formel scheint in praktischen Fällen zu funktionieren (Bahnsimulation und -bestimmung). Bitte zögern Sie nicht, einen Kommentar abzugeben, um eventuelle Fehler zu korrigieren.
äh
Krafpy
äh