Wie impliziert das holographische Prinzip Nichtlokalität?

Die Nichtlokalität der Schwerkraft bedeutet nicht, dass die Lorentz-Invarianz gebrochen ist, Lorentz-Invarianz und Lokalität sind getrennte Konzepte. Es bedeutet nur, dass man, um den Zustand des Universums an einem bestimmten Punkt zu definieren, wissen muss, was überall vor sich geht, der Zustandsraum zerfällt nicht in eine Basis lokaler Operatoren.

"Lokalität" ist ein etwas überladener Begriff, und für diese Diskussion gehe ich davon aus, dass es an jedem Punkt bosonische Operatoren gibt, die bei raumartiger Trennung pendeln (bosonische Felder und Bilineare in Fermi-Feldern). Dies bedeutet, dass die orthogonalen Basiszustände gleichzeitig alle möglichen Werte der bosonischen Feldzustände auf einer raumartigen Hyperfläche und über Fermi-Grassman-Variablen sind, wenn Sie Fermionen haben wollen.

Wenn Sie diese Idee auf die gekrümmte Raumzeit und auf beliebig kurze Entfernungen erweitern, erhalten Sie eine völlig lächerliche Divergenz in der Anzahl der Zustände von Schwarzen Löchern. Dies war die wichtigste Entdeckung von 'tHooft, der Grundlage des holographischen Prinzips.

Um dies zu sehen, betrachten Sie die äußere Schwarzschild-Lösung. Die lokale t-Temperatur ist die Periodizität der imaginären Zeitlösung und divergiert als 1/a, wobei a der Abstand zum Horizont ist (dieser Abstand wird durch die Metrik gemessen, die divergiert in r-Koordinaten, also nicht$r-2m$für r in der Nähe des Horizonts, aber proportional zu$\sqrt{r-2m}$. Bei dieser Änderung der Variablen ist der Horizont lokal Rindler).

Unter der Annahme, dass die Felder lokal nahe dem Horizont sind, bestehen die thermischen Fluktuationen der Felder aus einer Summe über die Entropie unabhängiger thermischer Feldfluktuationen bei der lokalen Temperatur. Sie können die Entropie (pro Horizontflächeneinheit) in diesen Schwankungen abschätzen, indem Sie die Entropie bei jedem r in Bezug auf r integrieren. Die Entropiedichte eines freien Feldes (z. B. EM) bei der Temperatur T geht als$T^{3}$, also bekommst du

Die Konvergenz bei großen A ist falsch, der Rotverschiebungsfaktor asymptot zu einer Konstanten in der realen Lösung, sodass Sie eine divergierende Entropie erhalten. Das ist vernünftig, es ist nur die Massenentropie des Strahlungsgases im Gleichgewicht mit dem Schwarzen Loch. Aber dieses Integral divergiert nahe dem Horizont, so dass das Hawking-Vakuum des Schwarzen Lochs in einer lokalen Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit eine unendliche Entropiehaut trägt.

Diese divergierende Entropie widerspricht dem Bild eines schwarzen Lochs, das sich auf einheitliche Weise bildet und verdampft, es widerspricht der physikalischen Intuition, eine so enorme Entropie in einem beliebigen kleinen schwarzen Loch zu haben, es ist einfach lächerlich. Daher muss jede Quantentheorie der Schwerkraft mit der richtigen Anzahl von Freiheitsgraden in der Nähe eines Horizonts eines Schwarzen Lochs und durch natürliche Ausdehnung überall nichtlokal sein.

Die Divergenz ist intuitiv – es bedeutet, dass Sie eine unendliche Menge an Informationen direkt in die Nähe des Horizonts bringen können, weil von außen betrachtet nichts wirklich hineinfällt. Wenn die Felder wirklich lokal sind, können Sie eine Gutenberg-Bibel hineinwerfen und hundert Jahre später den gesamten Text durch sorgfältige lokale Feldmessungen extrahieren. Das ist Unsinn – die Informationen sollten mit dem Schwarzen Loch verschmelzen und in der Hawking-Strahlung wieder emittiert werden, aber das sagt die semiklassische QFT im gekrümmten Raum nicht.

'tHooft hat diese Divergenz zuerst mit einer Backsteinmauer behoben, einem Cutoff für die Integrale, damit die Entropie richtig herauskommt. Dieser Cutoff war eine Heuristik dafür, wo die Lokalität zusammenbricht. Um den Informationsverlust zu beheben, überlegte er um 1986, was passiert, wenn ein Teilchen in ein Schwarzes Loch fliegt, und wie es die Emissionen beeinflussen könnte. Er erkannte, dass das Teilchen die Emissionen nur durch die Gravitationsverformung beeinflussen kann, die das Teilchen am Horizont hinterlässt.

Diese Verformung ist nichtlokal, da die Horizontform dadurch bestimmt wird, welche Lichtstrahlen es bis ins Unendliche schaffen. Die Rückverfolgung zeigte, dass ein einfallendes Teilchen einen Gravitationsabdruck am Horizont hinterlässt, wie eine Beule an einer Zeltstange, wo es eintreten wird. Er konnte die S-Matrix in den Griff bekommen, indem er sich vorstellte, dass die Unebenheiten die ganze Physik machen, die Horizontbewegung selbst, und diese Unebenheiten-am-Horizont-Beschreibung war eindeutig dem Vertexoperator-Formalismus in der Stringtheorie ähnlich, aber mit verrückte imaginäre Kopplung und alle möglichen falschen Verhaltensweisen. Heute ist bekannt, dass dies daran liegt, dass er eher an ein thermisches Schwartzschild-Schwarzes Loch als an ein extremales dachte. Bei extremalen Schwarzen Löchern ist AdS/CFT das natürliche Analogon zur 'tHoofts-Konstruktion.

Stringtheorie

In der Stringtheorie haben Sie eine Nichtlokalität, die von Anfang an rätselhaft war – die String-Streuung ist nur auf der Schale definiert, und die einzige Erweiterung eines Off-Shell-Formalismus erfordert, dass Sie Lichtkegelkoordinaten nehmen. Dies wurde in den 1980er Jahren in der Stringtheorie als peinlich angesehen, denn um einen Raum-Zeit-Punkt zu definieren, müssen Sie Off-Shell-Operatoren kennen, die Sie Fourier-transformieren können, um Punkt-zu-Punkt-Korrelationsfunktionen zu finden.

In den 1990er Jahren wurde diese S-Matrix-Nichtlokalität neu bewertet. Susskind argumentierte heuristisch, dass ein hoch angeregter String-Zustand nicht von einem großen thermischen Schwarzen Loch zu unterscheiden sein sollte. Eines der Argumente war, dass die Saiten bei schwacher Kopplung bei großen Anregungszahlen lang und verwickelt sind und das richtige Energie-Radius-Verhältnis haben sollten.

Ein weiteres Argument von Susskind ist, dass eine Saite, die in ein Schwarzes Loch fällt, stark thermisch angeregt und länger werden sollte, und dass sie so breit wie das Schwarze Loch an der Ziegelmauer von 'tHooft wird, sodass die Ziegelmauer keine imaginäre Oberfläche zum Schneiden ist aus einem Integral, sondern dem Punkt, an dem die Strings in der Stringtheorie nicht mehr klein sind im Vergleich zum Schwarzen Loch, und die Beschreibung nicht mehr lokal ist.

Susskind argumentierte, dass es bei großen Besetzungszahlen thermodynamisch vorzuziehen sei, eine lange Saite zu haben, anstatt zwei Saiten mit halber Erregung. Dies ist im Wesentlichen auf das exponentielle Wachstum von Zuständen in der Stringtheorie zurückzuführen, auf das Hagedorn-Verhalten. Aber es bedeutet, dass das Bild einer Schnur, die in ein Schwarzes Loch fällt, besser als eine Schnur angesehen wird, die mit der großen Schnur verschmilzt, die bereits das Schwarze Loch ist.

Die D-Branes wurden auch von Polchinsky mit Schwarzen Löchern identifiziert, und die Dualität zwischen D-Branes und F-Saiten machte deutlich, dass alles in der Stringtheorie wirklich ein Schwarzes Loch war. Dies löste das Rätsel, warum die Saiten durch eine 2D-Theorie beschrieben wurden, die so seltsam die höherdimensionale Physik reproduzierte – es war nur ein Beispiel für 'tHoofts holographische Beschreibungen.

All diese Dinge übten einen enormen Druck aus, eine wirklich mathematisch präzise Umsetzung des holographischen Prinzips zu finden. Dies wurde zuerst von Banks Fischler Shenker und Susskind getan, aber das beste Beispiel ist Maldacenas.

AdS/CFT

In AdS/CFT schauen Sie in die Nähe eines Stapels von Typ-IIB-3-Branes, um die horizontnahe Geometrie zu erhalten (die jetzt gebogenes AdS ist, nicht flaches Rindler, weil die Schwarzen Löcher extremal sind), und Sie identifizieren die Dynamik der Stringtheorie in der Nähe des Horizonts mit der Niedrigenergietheorie auf den Branen selbst, die aus offenen Schnüren besteht, die an den Branen haften, oder der N=4 SUSY SU(N)-Eichtheorie (die SU(N)-Eichgruppe stammt von den Chan-Paton-Faktoren , das N=4 SUSY ist das SUSY des Branhintergrunds, und die superkonforme Invarianz wird mit der geometrischen Symmetrie von AdS identifiziert).

Die Korrespondenz bildet die AdS-Übersetzungsgruppe so ab, dass sie einen Dilatationsoperator in die Feldtheorie einbezieht, sodass, wenn Sie einen N = 4-Feldzustand erstellen, der an einem bestimmten Punkt in AdS lokalisiert ist, und Sie sich in eine der AdS-Richtungen bewegen, es entspricht dem Vergrößern des Flecks, ohne sein Zentrum zu verändern. Das bedeutet, dass es auf der AdS-Seite absolut keine Lokalität gibt, nur auf der CFT-Seite. Zwei weit voneinander entfernte Punkte werden durch CFT-Blobs unterschiedlichen Maßstabs dargestellt, nicht durch einen CFT-Zustand unterschiedlicher Position, sodass sie möglicherweise nicht pendeln können, außer in einer Annäherung an niedrige Energie. Die CFT ist lokal, aber dies ist eine Grenzlokalität, analog zur Lichtkegellokalität, keine Massenlokalität. Es gibt keine Massenlokalität.

Diese Nichtlokalität ist so offensichtlich, dass ich nicht weiß, wie ich sie rechtfertigen soll, genauso wenig wie das, was ich gesagt habe. In der N=4-Theorie gibt es keine vier Dimensionen von pendelnden bosonischen Operatoren, sondern nur drei Dimensionen. Es gibt nicht fünf Raumzeitdimensionen, sondern nur vier. Die verbleibende Dimension wird durch verschiedene Skalen in der CFT hervorgebracht. Dieses Beispiel ist also luftdicht – die Stringtheorie ist definitiv nichtlokal und nichtlokal auf die richtige Weise, die von 'tHoofts und Susskinds Argumenten vorgeschlagen wird.