In welchem ​​Moment wird Materie, die in ein Schwarzes Loch fällt, seine Größe beeinflussen?

Wie Kommentatoren bereits angedeutet haben, ist die Frage, wann sie den Horizont überschreiten (und wann sie in die Singularität aufgenommen werden), für Testteilchen ziemlich schwierig zu definieren, wenn wir den Standpunkt eines externen Beobachters einnehmen wollen. Ihre Frage hat jedoch eine eindeutige Antwort (zumindest in Bezug auf Größenordnungsberechnungen). Der Schlüssel ist, dass normalerweise angenommen wird, dass ein solches "Testteilchen" eine Masse von Null hat, während wir berechnen wollen, wann die Masse dieses Teilchens vom Schwarzen Loch "gefühlt" wird. Dazu müssen wir eine endliche Masse der fallenden Materie annehmen und die Rückreaktion berücksichtigendieser Masse auf der Metrik. Und so werden wir sehen, dass der Punkt, an dem die Masse in das Schwarze Loch integriert wird, indem sein Horizontradius vergrößert wird, zu einem endlichen Zeitpunkt erfolgt, gemessen vom asymptotischen Beobachter.

Betrachten wir der Einfachheit halber statt eines punktförmigen Beobachters die Kugelschale (aus staubartiger Materie mit Masse$\delta M$), die in das schwarze Schwartzschild-Loch fallen (mit Masse$M$). Diese Situation besitzt Kugelsymmetrie, und daher gilt der Satz von Birkhoff : Wir haben eine Schwarzschild-Metrik mit Masse$M$und Gravitationsradius$r_g=2 M$ innerhalb der fallenden Schale und mit Masse$M+\delta M$und Gravitationsradius$r_g'= r_g + 2 \delta M$ außerhalb davon. Wir könnten die Bewegung der Schale finden, indem wir geeignete Knotenbedingungen verwenden , aber wenn wir das der Einfachheit halber annehmen$\delta M \ll M$dann würde die Bewegung dieser Schale für die ungestörte Masse mit der radialen Geodäte zusammenfallen. Und so, wenn die Schale den Radius hat$r=r_g'$es tritt in endlicher Zeit auf (nennen wir es$t'$) nach der Uhr des externen Beobachters. Das wäre der Zeitpunkt, an dem die Hüllenmaterie vollständig in das Schwarze Loch eingearbeitet wäre: Kein Beobachter außerhalb des Schwarzen Lochs könnte danach noch eine Spur der Hülle entdecken. Und wenn ein Sender mit der Granate heruntergefallen ist, ist der späteste Zeitpunkt, an dem das Signal von ihm nach außen gelangen könnte$t'$(Natürlich muss ein solches Signal auch einige Zeit damit verbringen, bis zu einer endlichen Entfernung vom Schwarzen Loch zu klettern)

Wenn die Masse$\delta M$fällt aus der Ferne von mehreren$r_g$auf Distanz$r$das ist etwas mehr als (ungestört)$r_g$dieser Herbst würde ungefähr dauern

$$\Delta t = t - t_0 \approx \frac{r_g}{c} \ln \frac{r_g}{r-r_g},$$ (Die notwendigen Gleichungen finden Sie z. B. hier , uns interessiert bei Drehimpuls Null und divergierendem Leitterm $r=r_g$). Ersetzen durch $r$mit $r_g'$wir erhalten: $$\Delta t \approx \frac{r_g}{c} \ln \frac{M}{\delta M}.$$ Das ist die (Größenordnung) Antwort. Der Faktor davor ist die Schwarzschild-Radius -Lichtdurchgangszeit . Wir sehen das für $\delta M$vergleichbar mit $M$Der Logarithmus wäre ziemlich klein und die betreffende Zeit wäre einfach "mehrere Lichtkreuzungszeiten". Aber selbst für große Verhältnisse macht die Logarithmusfunktion die Zeit einigermaßen klein. Betrachten wir zum Beispiel einen Astronauten $\delta M\approx 70\,\text{kg}$in das Schwarze Loch Sagittarius A* fallen . Logarithmus wäre $\approx 81$Und $r_g/c$beträgt etwa 40 s und $\Delta t\approx 53\,\text{min}$, was aus menschlicher Sicht ziemlich endlich ist.

Die Antwort würde sich nicht viel ändern, wenn wir asphärische Konfigurationen und einen Drehimpuls ungleich Null in Betracht ziehen. Aber in diesem Fall muss man bedenken, dass eine solche asphärische Akkretion dazu neigt, Gravitationsstrahlung zu erzeugen, die den Horizont des Schwarzen Lochs stört. Diese Störungen (sogenanntes „Ringing down“) nehmen exponentiell mit Zeitkonstanten um die Schwarzschild-Radius-Lichtdurchgangszeit ab.

Weitere technische Diskussionen finden Sie unter:

Frolov, V., & Novikov, I. (2012). Physik Schwarzer Löcher: Grundkonzepte und neue Entwicklungen (Vol. 96). Springer Science & Business Media, Google Books .