Zerfallene Objektenergie in kinetische Energie

Sie haben Ihre Gleichungen nicht gezeigt, daher ist es schwer zu sagen, warum Sie diese unphysikalische Antwort erhalten haben. Vielleicht haben Sie versucht, Geschwindigkeiten linear zu addieren, anstatt die richtige relativistische Formel für die Zusammensetzung von Geschwindigkeiten zu verwenden .

Für kollineare Bewegung gilt die Formel (die sich leicht aus den Lorentz-Transformationen ableiten lässt ).

$$w = \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}$$

Nehmen wir an, wir haben einen Körper$A$Umzug in die$x$Richtung mit konstanter Geschwindigkeit$u$laut einem Trägheitsbeobachter$O$. Ein Körper$B$Umzug in die$x$Richtung, die Geschwindigkeit hat$v$In$A$Der Referenzrahmen von hat keine Geschwindigkeit von$u+v$In$O$s Rahmen. Stattdessen wird seine Geschwindigkeit sein$w$nach obiger Formel berechnet.

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Um die richtige Geschwindigkeit für Ihr Problem der totalen Vernichtung zu berechnen, müssen wir nur die Gesetze der Energie- und Impulserhaltung zusammen mit den relevanten Formeln aus der speziellen Relativitätstheorie für Energie und Impuls verwenden. Dies ist natürlich ein stark idealisiertes Szenario, da die bei der Vernichtung erzeugten Photonen in zufällige Richtungen emittiert werden und es nicht möglich ist, sie in eine Richtung zu zwingen: Sie benötigen eine Reaktionskammer, die mit einem erstaunlichen Material ausgekleidet ist, das dies kann reflektieren Gammaphotonen perfekt, ohne Abwärme zu erzeugen (die in zufällige Richtungen abgegeben wird). Aber wie auch immer...

Hier sind die Gleichungen, die wir für unsere Berechnungen benötigen. Erstens die Energie-Impuls-Beziehung der Speziellen Relativitätstheorie:

$$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \tag{1}$$

Wo$E$ist die Gesamtenergie,$p$ist der Impuls, und$m$ist die (Ruhe-)Masse des Objekts;$c$ist natürlich die Lichtgeschwindigkeit.

Wir brauchen auch die relativistische Impulsgleichung:

$$p = mv\gamma \tag{2}$$

Wo$\gamma$ist der Lorentzfaktor :

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \tag{3}$$

Beachten Sie, dass

$$\gamma^2 = \frac{c^2}{c^2 - v^2} \tag{3a}$$

Für einen masselosen Körper (z. B. ein Photon) vereinfacht sich Gleichung (1) zu

$$E = |pc| \tag{1a}$$

Und durch Kombinieren von (1) und (2) erhalten wir

$$E = mc^2\gamma \tag{1b}$$

für einen Körper mit einer Masse ungleich Null. Für ein ruhendes Objekt vereinfacht sich das zum Berühmten

$$E = mc^2 \tag{1c}$$

Lassen Sie die Anfangsmasse des Körpers sein$m$, und seine endgültige Masse (nachdem ein Teil davon vernichtet wurde) sein$km$, Wo$0 < k \le 1$.

Lassen$E_i$sei die Anfangsenergie des Körpers,$E_f$seine Endenergie und$E_l$die Energie des emittierten Lichts. Durch Energieerhaltung,

$$E_i = E_l + E_f \tag{4}$$

Der Anfangsimpuls des Körpers (im Ruhesystem) ist null, sagen wir$v$sei seine Endgeschwindigkeit und$p$sein letztes Momentum. Durch Impulserhaltung muss der Impuls des emittierten Lichts sein$-p$und daher ist seine Energie$pc$. Die endgültige Masse des Objekts ist$km$, also ab (2)$p = kmv\gamma$

Daher

$$\begin{align}\\ E_i & = mc^2\\ E_f & = kmc^2\gamma\\ E_l & = kmvc\gamma\\ \end{align}$$

Beachten Sie, dass$E_l/E_f = v/c$

Alles zusammen:

$$\begin{align}\\ E_i & = E_f + E_l\\ mc^2 & = kmc^2\gamma + kmvc\gamma\\ mc^2 & = kmc(c+v)\gamma\\ c & = k(c+v)\gamma\\ c^2 & = k^2(c+v)^2\frac{c^2}{c^2 - v^2}\\ k^2 & = \frac{c^2 - v^2}{(c+v)^2}\\ k^2 & = \frac{c-v}{c+v}\\ k^2c + k^2v & = c-v\\ v + k^2v & = c - k^2c\\ v(1 + k^2) & = c(1 - k^2)\\ v & = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}\,c \tag{5}\\ \end{align}$$

Also wann$k=1/2$,$v=3c/5$

Mit etwas mehr Algebra lässt sich das zeigen

$$\begin{align}\\ \gamma & = \frac{1+k^2}{2k}\\ E_f/E_i & = \frac{1+k^2}{2}\\ E_l/E_i & = \frac{1-k^2}{2}\\ \end{align}$$

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Wenn der Körper exponentiell zerfällt , erfährt er eine konstante Beschleunigung, in dem Sinne, dass Sie, wenn Sie in einem Raumschiff reisen würden, das von diesem Prozess angetrieben wird, eine Beschleunigung erfahren würden, die sich wie eine konstante Gravitationskraft anfühlt. Um dies zu zeigen, benötigen wir etwas Kalkül und die Formel zur Zusammensetzung der Geschwindigkeiten, die zu Beginn dieser Antwort angegeben ist. Zuerst ordnen wir Gleichung (5) leicht um.

$$\begin{align}\\ v & = \frac{1 - k^2}{1 + k^2}\,c\\ v & = \frac{k^{-1} - k}{k^{-1} + k}\,c\\ \end{align}$$ Nun lass $k = e^{-\lambda T}$, Wo $\lambda$ist die Zerfallsrate und $T$ist die Eigenzeit des Objekts. So unterliegt der Körper einem exponentiellen Verfall, gemäß den Uhren, die mit ihm reisen.

$$\begin{align}\\ v & = \frac{e^{\lambda T} - e^{-\lambda T}}{e^{\lambda T} + e^{-\lambda T}}\,c\\ v & = c \tanh(\lambda T) \tag{5a}\\ \end{align}$$

Nun müssen wir zeigen, dass dies die gleiche Formel ist, die für ein Objekt entsteht, das einer konstanten Beschleunigung ausgesetzt ist. Es wird manchmal gesagt, dass die Formeln der Speziellen Relativitätstheorie nur für konstante Geschwindigkeit gelten, aber das ist nicht ganz richtig: Sie können zum Beschleunigen von Objekten in der flachen Raumzeit verwendet werden, man muss nur vorsichtig sein. ;) Der Trick besteht darin, eine Folge von Trägheitsreferenzrahmen zu verwenden, die bei jedem Schritt die Geschwindigkeiten mit dem beschleunigenden Körper abgleichen.

Lassen$a$sei die Beschleunigung und$v$die aktuelle Geschwindigkeit des Körpers. Wir wenden einen kleinen Schub an$a\Delta T$zu seiner Geschwindigkeit und verwenden Sie die Geschwindigkeitszusammensetzungsformel, um zu sehen, um wie viel das seine Geschwindigkeit numerisch erhöht.

$$\begin{align}\\ v + \Delta v & = \frac{v + a \Delta T}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \Delta v & = \frac{v + a \Delta T - v - v^2a \Delta T / c^2}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \frac{\Delta v}{\Delta T} & = \frac{a (1 - v^2 / c^2)}{1 + va \Delta T / c^2}\\ \frac{\Delta T}{\Delta v} & = \left(\frac{1}{a}\right) \frac{1 + va \Delta T / c^2}{1 - v^2 / c^2}\\ \end{align}$$

Unter der Grenze als$\Delta T \to 0$, Die$va \Delta T / c^2$Begriff verschwindet,

$$\frac{dT}{dv} = \left(\frac{1}{a}\right) \frac{1}{1 - v^2 / c^2}$$

Integrieren,

$$\begin{align}\\ T & = \frac{1}{a} \int \frac{dv}{1 - v^2 / c^2}\\ T & = \frac{c}{a} \tanh^{-1} \left(\frac{v}{c}\right)\\ v & = c \tanh \left(\frac{aT}{c}\right) \tag{6}\\ \end{align}$$

Die Integrationskonstante ist Null, weil$v=0$Wenn$T=0$.

Wir sehen, dass Gleichung (6) die gleiche Form wie Gleichung (5a) hat, mit$\lambda = a/c$, also ist die Beschleunigung des Objekts einfach$c\lambda$.

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Nachtrag

Um Ihre ursprüngliche (völlig unphysikalische) Frage zu beantworten, bei der die vernichtete Masse auf magische Weise in kinetische Energie des Objekts umgewandelt wird, ohne dass etwas emittiert wird, können wir verwenden$mc^2 = kmc^2\gamma$, dh,$k\gamma = 1$, Und$v = c \sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}$. So für$k = 1/2$(die Hälfte der ursprünglichen Masse wird vernichtet),$\gamma = 2$Und$v = c \sqrt 3 / 2 \approx 0.866c$.

Auch wenn ein solcher Zerfall physikalisch fast unmöglich ist, werde ich hier einige Punkte ansprechen.

Ich denke, Sie haben nicht berechnet, dass die freigesetzte Energie mit der Zeit abnimmt, da immer weniger radioaktive Substanz übrig bleibt und die Geschwindigkeit auch nicht gegen unendlich gehen sollte (wenn genügend Energie verfügbar ist, was nicht der Fall ist ), sollte sie sich dem annähern Lichtgeschwindigkeit, denn wenn die kinetische Energie eines Objekts zunimmt, nimmt seine Masse zu (da es nicht mehr in Ruhe ist), sodass es immer mehr Energie benötigt, um seine Geschwindigkeit zu erhöhen, sodass es unendlich viel Energie benötigt, wenn es sich der Lichtgeschwindigkeit nähert diese Geschwindigkeit erreichen.

Jetzt betone ich noch einmal, dass selbst wenn die gesamte Masse in Energie umgewandelt würde, eine endliche Menge freigesetzt würde , sodass am Ende selbst die kleinste Masse die Geschwindigkeitsgrenze (Lichtgeschwindigkeit) nicht erreichen kann. Am Ende würden die Massereste eine Geschwindigkeit erreichen, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.

Wenn sich der Zerfall dem letzten Atom und der Energie der ursprünglichen Masse nähert,$M$alles dreht sich um kinetische Energie, abhängig von der ursprünglichen Masse,$M$Die Gleichung zur Berechnung einer solchen Geschwindigkeit,$v$ist unten angegeben, wo$M$ist ursprüngliche Masse und$m$ist die Masse des letzten verbleibenden radioaktiven Atoms, wenn alle$M$wird schließlich in kinetische Energie umgewandelt.