Ist die Ebenheit des Raumes ein Maß für die Entropie?

Wir können die Krümmung einer Lösung bis zu einem gewissen Grad mit ihrer Entropie in Verbindung bringen. Die euklidische Zustandssumme in der allgemeinen Relativitätstheorie kann angenähert werden durch:

$$Z_{E} \approx \exp(-I_E)$$

wo$I_E$ist die euklidische Wirkung, die an allen klassischen Lösungen ausgewertet wird, die eine Periode haben$\tau$mit Periode koordinieren$\beta=1/k_BT$. Die Entropie des Systems ist näherungsweise gegeben durch

$$S = k_B \frac{\partial }{\partial T}\left(T\log Z\right)$$

Die Einstein-Hilbert-Aktion enthält den Ricci-Skalar, dh

$$I_{EH}=\int_M \mathrm{d}^d x \, \sqrt{-g} \, R$$

Daher ist die Entropie technisch gesehen von der Krümmung abhängig . Darüber hinaus kann es selbst bei nicht trivialen Lösungen wie der Schwarzschild-Metrik Fälle geben, in denen$R=0$. Denken Sie jedoch daran, dass zur Definition eines vollständig strengen Aktionsprinzips dieses durch einen Grenzbegriff ergänzt werden sollte,

$$I_{GH} = \int_{\partial M} \mathrm{d}^{d-1}x \, \sqrt{-h} \, K$$

wo$K$ist die extrinsische Krümmung, und$h_{ab}$die induzierte Metrik an der Grenze$\partial M$.

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Beispielrechnung (Schwarzschild-Lösung)

Nach einer Wick-Rotation, im Hinterkopf behalten$\tau$ist periodisch mit Periode$\beta$, die Metrik ist gegeben durch,

$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1- \frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r} \right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi^2$$

Wählen wir eine geeignete nach innen gerichtete Normale,

$$n^{a} = - \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\delta^a_r$$

die äußere Krümmung ist gegeben durch$\nabla_{a} n^a$, dh die Abweichung von der Normalen. Zwischenschritte erfordern die Einführung einer Radialabschaltung$R$, und die Subtraktion des Randterms des flachen Raums mit der gleichen Grenze . Schließlich findet man,

$$I_{GH} = \frac{\beta M}{2G} = \frac{A}{4G}$$

wo$A$ist die Fläche des Schwarzen Lochs. Die über den Formalismus erhaltene Entropie stimmt mit der Bekenstein-Hawking-Entropie überein. (Tatsächlich war der Grenzbegriff teilweise auf Hawking zurückzuführen.)

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Siehe http://perimeterscholars.org/448.html ; Vorlesung 10 liefert die Berechnung für das Schwarzschild-Schwarze Loch, und die vorherigen Vorlesungen diskutieren die erforderliche Mathematik von Untermannigfaltigkeiten.

Einige Bemerkungen:

Wenn wir ein Schwarzschild-Schwarzes Loch betrachten, ist ein lokales Maß für die Krümmung die Quadratwurzel des Kretschmann-Skalars $K = R_{abcd}R^{abcd}$. Betrachtet man den Kehrwert der Krümmung, so erhält man:

$K(r)^{-\frac{1}{2}} \sim \dfrac{r^3}{GM} \tag{1}$

Andererseits ist die Gesamtentropie des Schwarzen Lochs:

$S \sim GM^2 \tag{2}$

[BEARBEITEN]

Sie können natürlich darüber nachdenken$K^{-\frac{1}{2}}$, als Entropie-Volumendichte, aber es ist falsch, erstens wissen wir, dass wir ein Integral einer Größe am Horizont des Schwarzen Lochs machen müssen, das eine Oberfläche, aber kein Volumen ist, zweitens die Dimensionalität von$K^{-\frac{1}{2}}$ist nicht richtig, es ist$[K^{-\frac{1}{2}}] = M^{-2}$( und$[S] = M^0)$, während es sein sollte$M^2$.

Darüber hinaus "maximiert" der flache Raum die Entropie nicht. Wenn man sich einen leeren Raumbereich vorstellt, also ohne Information, dann gibt es auch keine Entropie. Wenn wir damit beginnen, diesen Bereich des Raums mit Energie und Impuls zu füllen, wird es Information und Entropie geben (als "einheitliche" Information gesehen). Das Maximum der Entropie entsteht, wenn die Energie im gewählten Raumbereich so stark ist, dass man ein Schwarzes Loch hat.

Wenn die Krümmung/Ebenheit des Raums ein Maß für die Schwerkraft ist, dann kann diese Ebenheit durchaus als Hinweis auf die Entropie angesehen werden. Dies hat einen sehr einfachen Grund; und Sie müssen nicht ins Extreme gehen und schwarze Löcher und die Temperatur in ihrer Nähe betrachten, um dies zu sehen.

Beachten Sie eines: Schwerkraft und Entropie sind einfach zwei gegensätzliche Phänomene (Kräfte). Entropie bewirkt, dass sich Teilchen voneinander entfernen . Wenn sie nicht durch irgendwelche Grenzen eingeschränkt wird, wird die Entropie - die sich natürlich von niedrig nach hoch ändert - dazu führen, dass sich Partikel immer mehr ausbreiten (gleichzeitig an Energie und Geschwindigkeit verlieren, aber das ist hier nicht so wichtig), was ihnen mehr Freiheit gibt. Andererseits bringt die Schwerkraft Partikel dazu, zusammenzukommen , sich zu konzentrieren. Nochmals, wenn die Gravitation uneingeschränkt ist, lässt sie die Teilchen immer näher zusammenrücken, sie schränkt die Freiheit der Teilchen ein.

Je flacher also der Raum (geringere Schwerkraft), desto größer die Teilchenfreiheit (höhere Entropie). Je mehr Partikel vorhanden sind, desto mehr schränken sie sich natürlich gegenseitig in ihrer Freiheit ein, da die zunehmende Anzahl von Partikeln nicht nur die Bewegung blockiert, sondern auch die Schwerkraft erhöht, die sie aufeinander ausüben. Dennoch können Sie bei zwei gegebenen Raumbereichen - bei ansonsten gleichen Bedingungen - mit Sicherheit sagen, dass der mit der größeren Schwerkraft (die Sie bei Bedarf durch Ebenheit messen können) eine geringere Entropie erzeugt.

EDIT: Mir ist klar, dass eine solche Antwort allzu einfach erscheinen mag, wenn man so erhabene und mysteriöse Wesen wie Schwarze Löcher betrachtet, aber ... na ja ...