Ist Zerfallswärme proportional zur Halbwertszeit?

Die Zerfallsrate (Aktivität)$\dfrac{dN}{dt}$ist proportional zur Anzahl der nicht zerfallenen Kerne$N$.

Dies wird normalerweise geschrieben als

$\dfrac{dN}{dt} \propto N \Rightarrow \dfrac {dN}{dt} = - \lambda N$

Wo$\lambda$ist die Zerfallskonstante, die mit der Halbwertszeit zusammenhängt$\tau$als$\lambda\, \tau = \ln 2$

So$\dfrac{dN}{dt} = - \dfrac{\ln 2}{\tau} N$

Die bei einem nuklearen Zerfall freigesetzte Energie wird als Q-Wert bezeichnet, ebenso wie die Rate der Wärmeerzeugung

$\dfrac{dN}{dt} Q = - \dfrac{\ln 2}{\tau} N Q$

Also für eine bestimmte Anzahl von nicht zerfallenen Kernen$N$($\propto$Molzahl) ist die Wärmeproduktionsrate umgekehrt proportional zur Halbwertszeit.

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Man könnte sich sehr langlebige Elternkerne mit einem Q-Wert für Zerfall von vorstellen$Q_{\rm p}$die in viel kürzerlebige Tochterkerne mit Q-Wert für den Zerfall zerfallen$Q_{\rm d}$wobei der Zerfall eines Tochterkerns mehr Energie freisetzt als der eines Elternkerns$Q_{\rm d} >Q_{\rm p}$.

Angenommen, es gibt anfänglich keine Tochterkerne, aber nach einiger Zeit stellt sich eine Gleichgewichtssituation ein, so dass die Zerfallsraten der Elternkerne und der Tochterkerne gleich sind.

So$\dfrac{dN_{\rm p}}{dt} = \dfrac{dN_{\rm d}}{dt}$.

Dies bedeutet, dass die Rate der Wärmeerzeugung aus dem Zerfall der Tochterkerne sinkt$\left ( \dfrac{dN_{\rm d}}{dt}\, Q_{\rm d} \right )$größer sein als die Rate der Wärmeerzeugung aus dem Zerfall der Mutterkerne$\left ( \dfrac{dN_{\rm p}}{dt}\, Q_{\rm p} \right )$was eine Erhöhung der Wärmeerzeugungsrate bedeuten würde.

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Update als Antwort auf einen Kommentar.

Wenn Sie einen Eltern-zu-Tochter-Zerfall haben, beginnend ohne vorhandene Tochterkerne, haben die Aktivitätsdiagramme die Form, die von der relativen Halbwertszeit des Elternteils abhängt$\tau_{\rm p}$und Tochter$\tau_{\rm d}$.

Das Beispiel, das ich oben verwendet habe, war für das säkulare Gleichgewicht wo$\tau_{\rm p} \gg \tau_{\rm d}$

Um die Geschwindigkeit der Energiefreisetzung zu erhalten, müsste man die Aktivität mit dem entsprechenden Q-Wert für den Zerfall multiplizieren.
Es ist also dieses Produkt, das bestimmt, welcher Zerfallsmodus die größte Energie freisetzt.

Die Mathematik in Bezug auf radioaktive Zerfallsketten wurde erstmals 1910 von Harry Bateman veröffentlicht, aber Sie finden, dass nachfolgende Ableitungen und Erklärungen leichter zu verstehen sind? Wenn Sie die Bateman-Gleichung
googeln, erhalten Sie viele Links.

Wenn Sie das Wort „proportional“ verwenden, implizieren Sie eine Art Vergleich (obwohl zugegebenermaßen eine oder beide Seiten des Vergleichs hypothetisch sein können), und wir müssen fragen: „ Was wird genau verglichen?“ bevor wir Ihre Frage beantworten können.

Das Problem ist kompliziert, weil im Allgemeinen zwei Quellen mit unterschiedlichen Halbwertszeiten nicht die gleiche Energiefreisetzung pro Zerfall haben, aber ich gehe davon aus, dass wir damit umgehen können. Ich werde auch Lebensdauern anstelle von Halbwertszeiten verwenden, weil ich klarer in der Basis denke$e$.

Wärme, die jetzt von Proben gleicher Population mit unterschiedlichen Lebenszeiten erzeugt wird

Angenommen, wir haben zwei Proben, die jeweils enthalten$N$Atome von zwei Isotopen mit der gleichen durchschnittlichen Energiefreisetzung$q$pro Zerfall, aber unterschiedliche Lebensdauern ($\tau_l> \tau_s$wobei 'l' für lang und 's' für kurz steht).

In einer Zeit$\delta t$die im Vergleich zu beiden Lebensdauern kurz ist, die erzeugte Wärme ist proportional zur aktuellen Zerfallsrate, die umgekehrt proportional zur Lebensdauer ist.

$$\begin{align} Q_\text{now} &= N q \exp \left( \frac{\delta t}{\tau} \right) \\ \\ &\approx N q \left(1 + \frac{\delta t}{\tau} \right) \end{align}$$ so ist das Verhältnis $$\begin{align} R_\text{now} &= \frac{ Q_{\text{now},l} }{ Q_{\text{now},s} } \\ \\ &= \frac{1 + \frac{\delta t}{\tau_l}}{1 + \frac{\delta t}{\tau_s}} \\ \\ &\approx 1 - \frac{\delta t}{\tau_l} \frac{\tau_s}{\delta t} \\ &= 1 - \frac{\tau_s}{\tau_l} \;. \end{align}$$

Kurz gesagt, die von der langlebigeren Probe entwickelte Wärme ist geringer als die von der kurzlebigen Probe. Wenn das Verhältnis der Halbwertszeiten groß genug ist, kann dies annähernd umgekehrt proportional zur Lebensdauer sein.

Wärme, die viel später durch (derzeit) gleiche Populationsproben unterschiedlicher Lebensdauer erzeugt wird

In diesem Fall warten wir$\Delta T$erheblich größer als jede Lebensdauer vor der Probenahme. In diesem Fall die überlebende Bevölkerung

$$N_\text{later} = N \exp\left( -\frac{\Delta T}{\tau} \right) \;,$$ und die zu diesem späteren Zeitpunkt entwickelte Wärme ist $$\begin{align} Q_\text{now} &\approx N \exp\left( -\frac{\Delta T}{\tau} \right) q \left(1 + \frac{\delta t}{\tau} \right) \;, \end{align}$$ was das Verhältnis ausmacht $$\begin{align} R_\text{later} &\approx \exp \left[ -\Delta T \left( \frac{1}{\tau_l} - \frac{1}{\tau_s} \right) \right] \left( 1 - \frac{\tau_s}{\tau_l} \right) \;, \end{align}$$ Von den beiden überlebenden Termen dominiert das Exponential, also ändern wir die Reihenfolge, um das Minuszeichen zu entfernen, das wir bekommen $$R \propto \exp \left[ \Delta T \left( \frac{1}{\tau_s} - \frac{1}{\tau_l} \right) \right] \;,$$ und es ist klar, dass die von der langlebigeren Probe entwickelte Wärme die der kürzerlebigen Probe übersteigt.

Dies sollte nicht überraschen, da wir praktisch davon ausgegangen sind, dass die beiden Proben die gleiche Gesamtenergie zur Verfügung hatten und die kurzlebige zu Beginn mehr entwickelt hat, sodass die langlebige später eindeutig mehr zur Verfügung hat.