Fishers fundamentaler Satz der natürlichen Auslese

Ich denke nicht, dass Sie weiter als bis zur Price-Gleichung suchen müssen , die im Grunde ein Beweis für eine verallgemeinerte Version von Fishers fundamentalem Theorem ist. Price hatte in den 70er Jahren eine Reihe von Artikeln, in denen die Price-Gleichung abgeleitet und angewendet wurde (z. B. Price, 1970 ; Price, 1972a ), aber am relevantesten für Ihre Frage ist wahrscheinlich Price (1972b) .

Eine schöne Zusammenfassung von Price' Vermächtnis findet sich in Frank (1995) .

Hier ist ein Artikel mit einer historischen Bibliographie mathematischer Analysen in der Einleitung .

Wie Sie sehen können, wenn Sie eine mathematische Behandlung von etwas so Unverständlichem wie der genetischen Vererbung von Merkmalen fordern, ist das Wort Beweis in einer qualifizierten Weise zu verwenden. In diesem Fall eine Multilocus-Fitness mit Variation in der Population ohne Verbindung zwischen den Allelen. Es ist wahrscheinlich ein Fall, der häufig genug auftaucht, aber von wie vielen Allelen sprechen wir? Bei einer großen Anzahl von Allelen, die bei jeder Generation zufällig gemischt werden (Null-Verknüpfung), würde ich mir vorstellen, dass die Anzahl der Individuen viel Vielfalt enthält.

Die meisten GWAS-Studien zeigen, dass viele weniger wahrscheinliche Varianten zu vielen genetischen Merkmalen (wie Größe, Diabetes usw.) beitragen können. Das ist also eine ziemlich vernünftige Anzahl von Fällen.

Der grundlegende Satz gilt jedoch für eine beliebige Anzahl von Varianten, also hilft dies hoffentlich.

Die folgende Antwort ist nicht vollständig und vermittelt nur ein intuitives Verständnis von Fishers fundamentalem Theorem der natürlichen Selektion. Eine bessere Entwicklung findet sich in Ewens Buch

Lassen Sie uns zuerst definieren, was die additive genetische Varianz ist

Stellen Sie sich ein quantitatives Merkmal vor, das vollständig durch einen Ort bestimmt wird$A$welche zwei Allele sind$A_1$und$A_2$. Die Messung$m$Dieser quantitative Charakter für ein Individuum wird durch seine Genotypen angegeben, so dass die Genotypen$A_1A_1$,$A_1A_2$und$A_2A_2$Maße haben$m_{11}$,$m_{12}$und$m_{22}$beziehungsweise. Angenommen, dass eine zufällige Paarung in Bezug auf dieses Zeichen gilt und dass die Häufigkeiten von$A_1A_1$,$A_1A_2$und$A_2A_2$sind$x^2$,$2x(1-x)$und$(1-x)^2$, beziehungsweise. Dann der Mittelwert$\bar m$dieser Messung ist

$$\bar m = x^2m_{11} + 2x(1-x)m_{12} + (1-x)^2m_{22}$$

und die Varianz in der Messung ist

$$\sigma ^2 = x^2(m_{11} - \bar m) + 2x(1-x) (m_{12} - \bar m) + (1-x)^2 (m_{22} - \bar m)$$

Die Kovarianz zwischen den Vätern und den Söhnen (unter der Annahme, dass sich die Allelhäufigkeit nicht ändert) ist

$$x(1-x)\left(xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22}\right)^2$$

Die Korrelation zwischen den Vätern und den Söhnen ergibt sich aus der Division der Kovarianz durch die Varianz (da die Varianz der Väter gleich der Varianz der Söhne ist).

$$\frac{x(1-x)\left(xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22}\right)^2}{\sigma ^2}$$

die in Dominanz und additive Varianz zerlegt werden kann

$$\sigma _A ^2 = 2x(1-x) (xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22})^2$$ $$\sigma _D ^2 = x^2(1-x)^2 (2xm_{12} - m_{11} - m_{22})^2$$

Ersetzt man die Messung durch die Fitness, erhält man die additive genetische Varianz der Fitness.

$$\sigma _A ^2 = 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2$$ $$\sigma _D ^2 = x^2(1-x)^2 (2xw_{12} - w_{11} - w_{22})^2$$

---

Nun ist die mittlere Fitness in der Population gegeben durch (wie bereits gesagt)

$$\bar w = x^2w_{11} + 2x(1-x)w_{12} + (1-x)^2w_{22}$$

Unter Verwendung der Wright-Fisher-Gleichung ist die Änderung der mittleren Fitness

$$\Delta \bar w = 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2 \cdot (w_{11}x^2 + (w_{12} + \frac{w_{11} + w_{22}}{2})x(1-x) + w_{22}(1-x)^2)\bar w ^{-2}$$

die angenähert werden können

$$\Delta \bar w ≈ 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2 = \sigma _A ^2$$

---

Bezug

Es gibt eine interessante Behandlung dieses Theorems im Journal of Mathematical Biology (Ende 2017), die angeblich anhaltende Mutationen in der Bevölkerung erklärt (in Fishers Original nicht berücksichtigt).

https://link.springer.com/article/10.1007/s00285-017-1190-x

Sie zeigen, wie ihre Modifikationen zu den gleichen Ergebnissen führen wie Fishers Original, wenn davon ausgegangen wird, dass laufende Mutationen nicht vorhanden sind. Sie zeigen auch einige Ergebnisse von Simulationen, die auf verschiedenen andauernden Mutationsverteilungen basieren. Sie diskutieren, welche Verteilung aufgrund von Beobachtungen am sinnvollsten ist.

Obwohl dies eine mathematische Behandlung ist, denke ich, dass die Vertrauenswürdigkeit des Theorems letztendlich an empirische Beweise gebunden wäre, wie ich oben angedeutet habe.