Warum ist die Steigung der Eltern-Nachkommen-Regression gleich der Erblichkeit im engeren Sinne?

Hintergrund

---- Notationen und Annahmen ----

Lassen$W_{ij}$die dem Genotyp zugeordnete Fitness sein$AiAj$.$x$ist die Häufigkeit des Allels$A1$in der Bevölkerung. Die Häufigkeit des Allels$A2$ist$1-x$weil wir nur den Fall eines biallelischen Locus betrachten werden. Außerdem berücksichtigen wir, dass nur ein Locus die Zufallsvariable beeinflusst$W$(die Eignung). Wir gehen davon aus, dass die Umgebung die Fitness nicht beeinflusst. Wir gehen auch von einer zufälligen Paarung aus, um das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht zu nutzen.

---- Berechnungen ----

Die mittlere Fitness ist:

$$\bar W = x^2W_{11} + 2x(1-x)W_{12} + (1-x)^2W_{22}$$

Die Varianz der Fitness ist:

$$\sigma^2 = x^2(W_{11}-\bar W)^2 + 2x(1-x)(W_{12}-\bar W)^2 + (1-x)^2(W_{22}-\bar W)^2$$

Wir wollen dann die Kovarianz zwischen Vater und Sohn bezüglich Fitness berechnen.

Nehmen wir zunächst an, dass der Vater ist$A_1A_1$Dann wird der Sohn sein$A_1A_1$wenn die Mutter eine übermittelt$A_1$Gen für ihn ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit x. Ebenso wird der Sohn sein$A_1A_2$mit Wahrscheinlichkeit$1-x$. Der Vater selbst wird es sein$A_1A_1$mit Wahrscheinlichkeit$x^2$. Wenn man diesen Schritt fortsetzt, ist es möglich, eine Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Vater-Sohn-Kombinationen im Genotyp und damit in der Fitness zu erstellen.

Unter der Annahme, dass sich die Häufigkeit von nicht ändert$A1$zwischen den beiden Generationen ist die Kovarianz Vater-Sohn:

$$cov = x^3W_{11}^2 + 2x^2(1-x)W_{11}W_{12} + x(1-x)W_{12}^2 + 2x(1-x)^2W_{12}W_{22} + (1-x)^3W_{22}^2-\bar W^2$$

was auch gleich ist

$$cov = x(1-x)(xW_{11} + (1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2$$

Die Korrelation zwischen den beiden Fitnessen wird gefunden, indem die Kovarianz durch die Varianz dividiert wird (da die Varianz der Söhne dieselbe ist wie die der Väter):

$$cor = \frac{x(1-x)(xW_{11} + (1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2}{\sigma ^2}$$

Wir definieren dann Dominanz und additive Varianz:

$$\sigma_D^2 = x^2(1-x)^2(2*W_{12} - W_{11} - W_{22})^2$$

$$\sigma_A^2 = 2x(1-x)(xW_{11}+(1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2$$

wie zum Beispiel

$$\sigma_D^2 + \sigma_A^2 = \sigma$$

Meine Frage

Die Steigung einer Eltern-Nachkommen-Regression entspricht der Erblichkeit im engeren Sinne$h^2_N$.

Erblichkeit im engeren Sinne ist definiert als$h_N^2 = \frac{\sigma_A^2}{\sigma}$(siehe Warum ist ein Erblichkeitskoeffizient kein Index dafür, wie „genetisch“ etwas ist? ).

Wir haben oben definiert, dass die Korrelation zwischen Eltern und Nachkommen ist$cor = \frac{cov}{\sigma}$. Ich würde also erwarten, dass die Steigung der Eltern-Nachkommen-Regression gleich ist$cor = \frac{cov}{\sigma}$und nicht$h_N^2 = \frac{\sigma_A^2}{\sigma}$

Was vermisse ich? Gibt es einen Fehler in meinen Hintergrundberechnungen? Gibt es einen Fehler in der Art, wie ich einige Konzepte definiert habe? Die Antwort könnte viel einfacher sein, als es aussieht!