Einfache Ableitung von Kimuras Näherung für die Wahrscheinlichkeit der Fixierung einer Mutation

Vermutlich haben Sie dies gelöst, aber falls nicht, liegt es daran, dass die PDE eine Kolmogorov-Rückwärtsgleichung ist , sodass die Koeffizienten erster und zweiter Ordnung der Mittelwert und die Varianz des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses sind, der modelliert wird.

Betrachten Sie im Detail eine stochastische Differentialgleichung (deren Lösung durch einen Ito-Diffusionsprozess gegeben ist):

$$dp_t = \mu(p_t,t) dt + \sigma(p_t,t) dW_t$$ dann gilt (unter bestimmten Bedingungen): $$-\frac{\partial}{\partial t} u(p,t) = \mu(p,t)\frac{\partial}{\partial p}u(p,t) + \frac{1}{2}\sigma^2(p,t)\frac{\partial^2}{\partial p^2} u(p,t)$$ wo$u$ist die Dichte von$p$bei$t$.

Beachten Sie, dass die Drift (infinitesimaler Mittelwert)$M=\mu(p,t)$und Diffusionskoeffizient (infinitesimale Varianz)$V=\sigma^2(p,t)$sind wie in der Zeitung (mit Ausnahme des negativen Vorzeichens, von dem ich annehme, dass es ignoriert werden kann, da er sich meistens nur um den Fall zu kümmern scheint, wenn$\partial_t u\approx 0$ohnehin). Tatsächlich werden sie äquivalent geschrieben:

$$\begin{align} \mu(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ p_{t + \delta t} - p_t \mid p_t=p \right] =: M \\ \sigma^2(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ (p_{t + \delta t} - p_t)^2 \mid p_t=p \right] =: V \\ \end{align}$$ wie Kimura schreibt.

Beachten Sie, dass eine nützliche Näherung der Übergangsdichte gegeben ist durch:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + \mu(p_t,t)\,\delta t, \sigma^2(p_t,t) \,\delta t) \tag{TD}$$

Ok, alles oben genannte ist also nur die grundlegende Theorie stochastischer Prozesse. Wenn wir also ein stochastisches Modell für die Populationsdynamik haben, können wir Werte für ableiten$M$und$V$daraus (durch Berechnung seiner Momente), und diese werden auf die rückständige Kolmogorov-Gleichung übertragen, auf der Kimuras Arbeit beruht.

Hier zeigt sich meine Unkenntnis der Bevölkerungsdynamik. Da Kimura jedoch Fisher und Wright erwähnt, habe ich das Wright-Fisher-Modell nachgeschlagen. Es scheint, als würde Kimura die Näherung des Diffusionsprozesses des Wright-Fisher-Modells verwenden. Dies scheint ein gut untersuchtes und geschichtsträchtiges Modell zu sein, das ich hier nicht vollständig beschreiben kann; Stattdessen fand ich die Arbeit von Tataru et al., Statistical Inference in the Wright-Fisher Model Using Allele Frequency Data , als hervorragende Beschreibung dafür, obwohl ich nicht vorgebe, viel davon zu verstehen.

Wichtig ist jedoch, dass die Veränderung der Gene (Übergangsdichte) durch eine Binomialverteilung beschrieben werden kann. Dies kann durch eine Normalverteilung angenähert werden:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t )$$ unter Verwendung der Standardannäherung an das Binomial. Dies gibt uns dann eine Vorwärts -Kolomogorov-Gleichung (nicht rückwärts) geschrieben: $$\frac{\partial}{\partial t} u = - \frac{\partial}{\partial p}\left[a(p_t) u(p_t) \right] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial p^2} \left[ p_t(1-p_t)u(p_t) \right]$$ Das impliziert das im Grunde$V=p(1-p)$.

( Mir ist aufgefallen, dass eine andere Möglichkeit, dies zu beweisen, darin besteht, festzustellen, dass die Wright-Fisher-Annäherungsdiffusion (ohne Auswahl usw.)$a\equiv 0$) hat einen infinitesimalen Generator, der gegeben ist durch:$\mathfrak{G} f(p) = p(1-p)\partial_{tt} f(p) / 2$. Dies impliziert sofort$V=p(1-p)$. Aber möglicherweise weniger einfach zu verstehen. )

Verwirrenderweise hat das Papier jedoch Zeitskalen (Variablen) geändert, so dass$\delta t \leftarrow \Delta t / (2N)$, und dann einstellen$\delta t$zu$1$(wahrscheinlich damit sie nicht schreiben müssten$2N$überall). Wenn wir diese Transformation rückgängig machen, erhalten wir

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t/(2N) )$$ Wenn Sie dies mit unserer obigen ungefähren Übergangsdichte (Gleichung (TD)) vergleichen, werden Sie sehen, dass dies impliziert: $$\sigma^2 = V = p(1-p)/[2N]$$ wie gewünscht.

Nun, was ist das infinitesimale Mittel, dh$a$oder$M$? Dies hängt eindeutig vom Auswahlmodell ab, da es steuert, wie die "Umgebung" den Prozess deterministisch beeinflusst. Kimura beschreibt dies als „konstanten Selektionsvorteil“ mit Koeffizient$s$. Das Tataru-Papier stellt fest, dass die Diffusionsnäherung an Wright-Fisher unter genetischer Drift, Mutation und Selektion gegeben ist durch:

$$a(p) = -\nu p + \xi(1-p) + 2N\tau p(1-p)[h-(1-2h)p]$$ Wenn wir (1) die Mutation durch Setzen ignorieren$\nu=\xi=0$, (2) Alleldominanzeffekte durch Einstellung entfernen$h=1/2$, und (3) definieren$s:= N\tau$, wir bekommen: $$a(p) = s p(1-p) =: M$$ was wir natürlich sehen, indem wir notieren$M=a(p)$Streichhölzer$\mu$in der obigen Gleichung (TD). (Notiere dass der$2N$Transformation fand auch hier statt, aber sie war im Inneren verborgen$s$).

So haben wir abgeleitet, wo Kimura ist$M$und$V$kommen, wenn auch wahrscheinlich nicht auf die einfachste Art und Weise.

Es bleibt nur noch die (stationäre) Gleichung für herzuleiten$u$. Ich denke, ich werde es der Vollständigkeit halber tun.

Wenn wir die stationären Indizes ignorieren, erhalten wir:

$$\begin{align} G(x) &= \exp\left( -\int \frac{2M}{V} dx \right) = \exp\left( -\int 4sN dx \right) = \exp\left( -4sNx\right) \\[0.15cm] u(p) &= \frac{\displaystyle \int_0^p G(x) dx}{\displaystyle \int_0^1 G(x) dx} = \frac{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^p}{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^1} = \frac{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sNp\right) - 1 \right]}{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sN\right) -1 \right]} \\ &= \frac{1 - \exp(-4Nsp)}{1 - \exp(-4Ns)} \end{align}$$ wie erforderlich.

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Entschuldigung für eventuelle Fehler. (Ich bin weder ein Populationsdynamikmodellierer noch ein Mathematiker, also weisen Sie bitte auf etwaige Probleme hin).