So berechnen Sie Delta V für den Mondvorbeiflug

Hier ist, wie, mit einer angenäherten Patch-Kegel-Technik.

Das$\Delta V$unter Verwendung von augenblicklichen Manövern (z. B. chemischer Antrieb) kann durch wiederholte Anwendung dieser Gleichung bestimmt werden, die einfach besagt, dass die Gesamtenergie die Summe der kinetischen Energie und der potentiellen Energie ist:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

wo$\mathcal{E}$ist die Gesamtenergie pro Masseneinheit des Objekts oder die "spezifische Energie",$v$ist die Geschwindigkeit des Objekts an der aktuellen Position,$\mu$ist die GM des Zentralkörpers, dh Newtons Gravitationskonstante mal seiner Masse, und$r$ist der aktuelle Abstand vom Mittelpunkt des Zentralkörpers.

Der Schlüssel ist, dass die Gesamtenergie des Objekts eine Bewegungskonstante über die Umlaufbahn ist.

Wir werden auch die Tatsache verwenden, dass Umlaufbahnen Ellipsen sind, und diese Gleichung, die diese Bewegungskonstante aus den Apsis der Umlaufbahn bestimmt, dh die Radien der nächsten und entferntesten Punkte in der Umlaufbahn,$r_1$und$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Für eine Flucht oder einen Rückflug von der Fluchtbahn:

$\mathcal{E}={v_\infty^2\over 2}$

wo$v_\infty$ist die Geschwindigkeit im Unendlichen relativ zum Körper.

Für dieses Problem definieren wir:

$\mu_E$= GM der Erde.
$\mu_M$= GM des Mondes.
$r_E$= geringer Radius der Erdumlaufbahn.
$r_M$= niedriger Mondbahnradius.
$a_M$= große Halbachse (mittlerer Radius) der Umlaufbahn des Mondes um die Erde.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Umlaufbahn des Mondes kreisförmig ist, was nicht weit von der Wahrheit entfernt ist.

Unter Verwendung des Obigen haben wir in einer erdnahen Umlaufbahn die Umlaufgeschwindigkeit$v_{LEO}$:

$-{\mu_E\over 2r_E}=\frac{v_E^2}{2}-\frac{\mu_E}{r_E}$

was ergibt:

$v_{LEO}=\sqrt{\mu_E\over r_E}$

Der Hohmann-Transfer von der Erde zum Mond ist eine halbe Ellipsenbahn um die Erde mit Periapsis$r_E$und Apoapsis$a_M$. Für die Geschwindigkeit$v$in jedem Radius$r$In dieser Umlaufbahn haben wir:

$-{\mu_E\over r_E+a_M}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_E}{r}$

Die Geschwindigkeit in dieser Transferbahn auf dem Radius einer erdnahen Umlaufbahn, dh ihrer Periapsis, beträgt:

$v_p=\sqrt{2a_M \mu_E\over r_E\left(a_M+r_E\right)}$

Die Geschwindigkeit, um die erdnahe Umlaufbahn zu verlassen, um auf die Transferbahn zu gelangen, ist dann:

$\Delta V_{inject}=v_p-v_{LEO}$

Das ist alles, was Sie brauchen, um am Mond vorbeizufliegen, wie der Titel der Frage lautet. Obwohl Sie im Fragetext fragen, wie Sie in eine niedrige Mondumlaufbahn gelangen. Sie brauchen ein weiteres Manöver und mehr Treibmittel, um langsamer zu werden und in eine Umlaufbahn zu gelangen.

Wenden Sie an, was für LEO getan wurde, die niedrige Umlaufgeschwindigkeit des Mondes$v_{LLO}$ist:

$v_{LLO}=\sqrt{\mu_M\over r_M}$

Ähnlich ist die Geschwindigkeit des Mondes auf seiner Umlaufbahn um die Erde:

$v_M=\sqrt{\mu_E\over a_M}$

Die Geschwindigkeit auf der Transferbahn am Radius des Mondes, also seiner Apoapsis, beträgt:

$v_a=\sqrt{2r_E \mu_E\over a_M\left(a_M+r_E\right)}$

Die Geschwindigkeit relativ zum Mond bei Annäherung, wenn der Mond nicht da wäre, ist:

$v_\infty=v_M-v_a$

Das ergibt für die Annäherungsgeschwindigkeit, wenn der Mond da ist , für jeden Radius vom Mond:

${v_\infty^2\over 2}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_M}{r}$

Auf dem Radius einer niedrigen Mondumlaufbahn beträgt diese Geschwindigkeit:

$v_L=\sqrt{\left(v_M-v_a\right)^2+{2\mu_M\over r_M}}$

Um in die Umlaufbahn zu gelangen, müssen wir relativ zum Mond langsamer werden, indem wir:

$\Delta V_{insert}=v_L-v_{LLO}$

Die Summe$\Delta V$ist dann:

$\Delta V_{total}=v_p-v_{LEO}+v_L-v_{LLO}$

Wenn wir die Zahlen einsetzen und 200 km LEO- und 100 km LLO-Höhen annehmen, erhalten wir:

$\Delta V_{inject}=3.13\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{insert}=0.82\,\mathrm{km\over s}$
$\Delta V_{total}=3.95\,\mathrm{km\over s}$

Dies kommt der Antwort nahe, die Sie erhalten, wenn Sie eine vollständige Integration durchführen, bei der die Schwerkraft des Mondes beginnt, an dem Raumschiff zu ziehen, lange bevor es die Entfernung des Mondes erreicht. Das erhöht die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs relativ zum Mond ein wenig und erhöht die$\Delta V$ein wenig einzufügen.

Dies ist eine direkte Überweisung, die in wenigen Tagen abgeschlossen sein kann. Wenn Sie bereit sind, ein paar Monate zu nehmen, gibt es weniger$\Delta V$Pfade, die durch verallgemeinerte Lagrange-Punkte gehen . Sie können bei der Bestellung sparen$0.1\,\mathrm{km\over s}$.

Da dies ein Community-Wiki ist, werden wir Dinge aus dem relevanten Link für einen Mondvorbeiflug und eine Rückkehr hinzufügen. Der Missionsverlauf verläuft wie folgt:

Zum Delta-v-Wert:

Vor TLI befindet sich das Raumfahrzeug in einer niedrigen kreisförmigen Parkbahn um die Erde. In diesem Beispiel haben wir eine Parkbahnhöhe von 185 Kilometern und ein TLI-Delta-v von 3.150 m/s angenommen .

Beachten Sie auch, dass dies mit einer bestimmten Mondhöhe verbunden ist.

Pericynthion ist der Punkt auf der Flugbahn des Raumfahrzeugs, der dem Mond am nächsten ist. Bei einer freien Rückflugbahn beträgt die Höhe am Perizynthion typischerweise etwa 100 bis 1.500 Seemeilen (185 bis 2.800 km) - siehe Diagramm. Die Perizynthionshöhe in diesem Beispiel beträgt 1.446 Kilometer.

Wenn Sie die Oberfläche des Mondes streifen möchten, müssen Sie die Parameter anpassen. Zum Glück gibt es genug dafür. Zu den Variablen, die Sie steuern können, gehören:

1. die Geschwindigkeit, die Sie durch das Brennen in LEO gewinnen
2. den Zeitpunkt, zu dem Sie dies tun.

Dies setzt voraus, dass sich alles in einer 2D-Ebene befindet, wie im obigen Bild. Zu den Dingen, die Sie kontrollieren müssen, um die Mission zu erfüllen (und den Tod zu vermeiden), gehören:

1. die minimale Höhe über dem Mond
2. der Einschlagsort auf der Erde

Ich liste diese auf, weil die Anzahl der Variablen, die Sie steuern können, gleich der Anzahl der Variablen ist, die Sie steuern müssen. Dies beweist, dass jede beliebige Vorbeiflugdistanz erreichbar ist, aber es beweist auch, dass Sie die Brenndauer anpassen müssen, um dies zu erreichen. Um sich dem Mond näher zu nähern, müssten Sie also Ihren Treibstoffbedarf ändern. Ob das mehr oder weniger ausreichen würde, weiß ich nicht.

Sie können etwas nicht direkt in eine Umlaufbahn um etwas schicken, ohne dass eine Geschwindigkeitsänderung vorgenommen wird.

Zuallererst wurde der Treibstoff, der benötigt wird, um in die Mondumlaufbahn zu gelangen, und für diese Angelegenheit, einen Mondvorbeiflug, gut berechnet. Wikipedia hat diese Werte, wie sie berechnet wurden. LEO zu LLO erfordert 4,04 km/s Delta V. Ein Mondvorbeiflug würde nur etwas weniger erfordern. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber der Unterschied wird geringer sein als das Delta V, das zum Landen nach Erreichen dieser Umlaufbahn erforderlich ist, also nicht mehr als 1,6 km / s.

Wie Sie es wirklich berechnen würden, ist, die Geschwindigkeit Ihrer LEO-Umlaufbahn zu finden und dann eine solche zu finden, dass Ihre neue Umlaufbahn gerade noch über den Mond hinausgeht, nachdem Sie Ihren Vorbeiflug gemacht haben. Diese Gleichung ist$v=\sqrt{\mu\left({2\over{r}}-{1\over{a}}\right)}$, wie bei Wikipedia dokumentiert . Für eine kreisförmige LEO-Umlaufbahn von beispielsweise 500 km ist die Anfangsgeschwindigkeit$\sqrt{\frac{\mu}{r}}$, oder 7,617 km/s. Die Geschwindigkeit am selben Punkt für eine Mondumlaufbahn beträgt 10,7 km/s. Somit beträgt das für einen Mondvorbeiflug erforderliche Delta V 10,7-7,617 = 3,084 km / s