Hat unser Universum eine krümmungsdominierte Phase erlebt?

Analysieren wir die Entwicklung der Krümmung in der$\Lambda\text{CDM}$Modell. Wenn$\rho_R$,$\rho_M$, Und$\rho_\Lambda$sind die Dichten von Strahlung, Materie und dunkler Energie und

$$\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G}$$ die kritische Dichte ist, dann können wir definieren $$\Omega_{R} = \frac{\rho_{R}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{M} = \frac{\rho_{M}}{\rho_{c}},\quad \Omega_{\Lambda} = \frac{\rho_{\Lambda}}{\rho_{c}},$$ und die Menge $$\Omega_{K} = 1 - \Omega_{R} - \Omega_{M} - \Omega_{\Lambda},$$ was als Maß für die Krümmung dienen kann: if $\Omega_{K} = 0$Das Universum ist flach, wenn $\Omega_{K} < 0$die Krümmung positiv ist, und wenn $\Omega_{K} > 0$die Krümmung ist negativ. Wir können diese Größen in Bezug auf ihre heutigen Werte schreiben (angezeigt durch Indizes " $0$") folgendermaßen: $$\rho_R = \rho_{R,0}\, a^{-4},\quad \rho_M = \rho_{M,0}\, a^{-3},\quad \rho_\Lambda = \rho_{\Lambda,0},$$ Wo $a$ist der Skalierungsfaktor mit heutigem Wert $a=1$, so dass $$\Omega_{R} = \Omega_{R,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-4},\quad \Omega_{M} = \Omega_{M,0}\frac{H_0^2}{H^2}a^{-3},\quad \Omega_{\Lambda} = \Omega_{\Lambda,0}\frac{H_0^2}{H^2}.$$ Aus den Friedmann-Gleichungen finden wir das auch (siehe diesen Beitrag für Details). $$H^2 = H_0^2\left(\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\right),$$ so dass $$\Omega_{K}(a) = \frac{\Omega_{K,0}\,a^{-2}}{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$$ Daraus lernen wir folgendes:

• Wenn$\Omega_{K,0}=0$, Dann$\Omega_{K}\equiv 0$. Das heißt, wenn das Universum heute genau flach ist, war es immer flach und wird es immer sein.
• Als$a\rightarrow\infty$, der Begriff$\Omega_{\Lambda,0}$dominiert, so dass$\Omega_{K}\rightarrow 0$. Mit anderen Worten, wenn$\Omega_{K,0}\ne 0$, wird die Krümmung des Universums unter dem Einfluss der Dunklen Energie in Zukunft gegen Null gehen.
• Als$a\rightarrow 0$, der Begriff$\Omega_{R,0}$dominiert, und wieder$\Omega_{K}\rightarrow 0$. In der fernen Vergangenheit war also auch die Krümmung des Universums sehr nahe bei Null; dies ist als Flachheitsproblem bekannt und eine der Motivationen für die Existenz einer inflationären Epoche.

Seit$|\Omega_{K}|$in der Vergangenheit und in der Zukunft verschwindet, muss es irgendwann einen Maximalwert gehabt haben, wenn es heute ungleich Null ist. Dieses Maximum tritt bei der Ableitung von auf$\Omega_{K}(a)$ist Null. Nach etwas Algebra reduziert sich dies auf das Lösen

$$2\,\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} - 2\,\Omega_{\Lambda,0} = 0.$$ Dies ist übrigens auch der Moment, in dem die Expansion des Universums von der Verlangsamung in die Beschleunigung überging (also wann $\ddot{a}=0$, siehe den vorherigen Link für Details). Verwenden der Werte $\Omega_{R,0}\approx 0$, $\Omega_{M,0}\approx 0.3$Und $\Omega_{\Lambda,0}\approx 0.7$, wir finden die Lösung $$a_m \approx \left(\frac{\Omega_{M,0}}{2\,\Omega_{\Lambda,0}}\right)^{1/3} \approx 0.6,$$ und die entsprechende Krümmung $$\Omega_{K,m} \approx \frac{\Omega_{K,0}\,a_m^{-2}}{\Omega_{M,0}\,a_m^{-3} + \Omega_{K,0}\,a_m^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + (3/2)\,\Omega_{M,0}\,a_m^{-1}} \approx \frac{\Omega_{K,0}}{\Omega_{K,0} + 0.75}.$$ Beobachtungen zeigen, dass die heutige Krümmung ist $$-0.02 < \Omega_{K,0} < 0.02,$$ so dass die minimale/maximale Krümmung gewesen wäre $$-0.027 < \Omega_{K,m} < 0.026.$$ Mit anderen Worten, die Krümmung des Universums war schon immer klein.