Ableitung der allgemeinen Gleichung für Wärmeübertragung und Entropie

In Landau & Lifshtiz Band 6 zur Strömungsmechanik leiten wir die allgemeine Gleichung der Wärmeübertragung ab, indem wir mit dem Ausdruck beginnen

$$\partial_t \left( \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varepsilon \right) = - \vec{\nabla} \cdot \left[ \rho \vec{v} \left( \frac{1}{2} v^2 +w \right) \right]$$ abgeleitet aus der Energieerhaltung für ein ideales Fluid. Hier$\rho$ist die Dichte,$v$die Geschwindigkeit,$\varepsilon$die innere Energie pro Masseneinheit und$w$die Enthalpie pro Masseneinheit.

Wir argumentieren, dass zwei Begriffe hinzugefügt werden müssen:

• $- v_i \sigma_{ij}$aufgrund von Fluss im Zusammenhang mit innerer Reibung ($\sigma_{ij}$ist der viskose Spannungstensor)
• $q_i = -\kappa \partial_i T$, die Wärmestromdichte$q$mit Wärmeleitfähigkeit$\kappa$und Temperatur$T$.

Dies ergibt dann die endgültige Gleichung

$$\partial_t \left( \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varepsilon \right) = - \vec{\nabla} \cdot \left[ \rho \vec{v} \left( \frac{1}{2} v^2 +w \right) - \vec{v}\cdot \sigma -\kappa \vec{\nabla} T \right]$$

Dies ist jedoch in Ordnung, um den Energiefluss abzuleiten$\rho \vec{v} \left(\frac{1}{2} v^2 +w \right)$für den idealen Flüssigkeitsfall nehmen wir die allgemeine adiabatische Gleichung an

$$\partial_t s + v_i \partial_i s = 0$$ mit$s$bezeichnet die Entropie pro Masseneinheit. Das erfordert das Fehlen eines Wärmeaustausches, dh eine adiabatische Bewegung des Fluids. Unter der Annahme, dass wir in der Lage sind, Bedingungen zu stornieren

• $+\rho T v_i \partial_i s$aus dem kinetischen Energieteil nach Einsetzen der Euler-Gleichung$\rho \partial_tv_i + v_j \partial_j v_i = -\partial _i P$($P$bezeichnet den Druck) und unter Verwendung der thermodynamischen Beziehung$\mathrm{d}w=T\mathrm{d}s + 1/\rho \mathrm{d}P$
• $- \rho T v_i \partial_i s = \rho T \partial_t s$aus dem internen Energiebegriff mit$\rho\mathrm{d}\varepsilon=\rho T\mathrm{d}s+P/\rho\mathrm{d}\rho$

Wenn wir nun den oben erwähnten Term für die Wärmestromdichte hinzufügen, gilt die allgemeine Adiabatengleichung nicht mehr (?!), und somit können wir die genannten Terme nicht streichen, oder? Warum erscheinen diese Terme also nicht in der allgemeinen Gleichung?