Abschätzung von Schubkraft und kg Treibstoff für die Schiffsreise einer Generation nach Alpha Centauri

Da Sie Integrale erwähnen, weiß ich, dass Sie mit Analysis vertraut sind, also kann ich Ihnen die kurze und süße Antwort geben. Das stimmt nicht immer$F=ma$. Die vollständigere Version der Newtonschen Gleichungen ergibt$F=\frac{dp}{dt}$, Wo$p$ist Schwung. Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses. Nun, da$p=mv$, können wir schnell sehen, dass wir erhalten, wenn die Masse konstant ist$F=m\frac{dv}{dt}$welches ist$F=ma$. Wenn die Masse nicht konstant ist, müssen Sie die Kettenregel verwenden, um zu erhalten$F=\frac{dm}{dt}v+m\frac{dv}{dt}$, was in der Raketentechnik verwendet wird. Integrieren Sie das und Sie erhalten die Antwort, die Sie brauchen.

Du bist nicht der Erste, der das möchte. Die Tsiolkovsky-Raketengleichung ist die ideale Gleichung für diese Berechnungen

Warum zuerst hierher gehen, anstatt zu integrieren? Nun, wir haben unser Schiff noch nicht spezifiziert. Wir müssen unseren Massenanteil verstehen, bevor wir es wagen, zu integrieren, um Abstand zu gewinnen. Aber wir wissen, dass wir zwei Verbrennungen machen müssen. Das erste Brennen führt uns von einer Anfangsgeschwindigkeit (nennen wir es 0) zu$v_{\frac{1}{2}}$, die Geschwindigkeit am Wendepunkt (der, wie Sie bemerken, nicht ganz auf halber Distanz liegt, aber ich verwende den Index$\frac{1}{2}$wie auch immer). Dann bringt uns das zweite Brennen auf die Geschwindigkeit von ACA in Bezug auf die Erde.

Sobald Sie dies haben, müssen Sie nur die obige vollständige Version des Newtonschen Gesetzes verwenden, um die Integration durchzuführen.

Ich werde uns die Kontrolle über die "Anzahl der Motoren" als Variable geben. Nun, ich empfehle nicht, einfach immer mehr kleine Motoren zu stapeln. Es ist nicht immer der effizienteste Ansatz. Aber ein Multiplikator für die von Ihnen beschriebene vorhandene Ionenmaschine scheint ein ziemlich guter Weg zu sein! Wir nennen diesen Skalierungsfaktor$k$. Wenn Ihr Schiff einen Skalierungsfaktor von hat$k$, es bedeutet, dass es produziert$30k$Newton Schub und verbraucht$\frac{75}{4000}k\frac{kg}{s}$Wert von Xenon, während aktiv.

Wir werden auch den ISP brauchen. Jetzt sieht es so aus, als hätten Sie die Zahlen mehrerer Ionentriebwerke gemischt und eines bekommen, das eigentlich ziemlich schwach ist. Andere können meine Mathematik überprüfen, aber ich habe es auf einen ISP von etwa 160 Sekunden festgelegt, was extrem niedrig ist (es ist niedriger als eine chemische Rakete). Typischerweise liegt der ISP für ein Ionentriebwerk in den Tausenden. Also lassen wir es einfach als Variable,$I_{sp}$, aber ich werde es an den wirklich netten ISP von NEXT koppeln, bei 4190s. Fühlen Sie sich frei, von dort aus Anpassungen vorzunehmen, aber das ist wirklich die dominierende Variable bei diesen Triebwerken. Sie können die Größe und die Durchflussrate beliebig anpassen, aber der Wechsel des ISP ist unglaublich schwierig.

Sie sollten auch eine auswählen$m_f$. Ihre Frage aufgeführt a$m_0$, Aber$m_f$ist in der Regel einfacher zu handhaben, da es durch die Notwendigkeit begrenzt ist, etwas mit einer Nutzlast zu tun. Zum Beispiel könnte es die gesamte Lebenserhaltung sein, die benötigt wird, um 10.000 Menschen zu versorgen, oder so etwas. Es wird nur ein Skalierungsfaktor für alles sein, also werde ich es nicht einbeziehen ... aber Sie werden es brauchen, um sich in die Frage zu verwandeln, "wie schwer es ist, diese Rakete tatsächlich zu bauen." Im Moment gehe ich einfach davon aus, dass a$m_f$von 1.000.000 kg.

Wir können also alles in Geschwindigkeiten im Anfangsframe machen$v_0=0$Und$v_f$ist die Geschwindigkeit von ACA in unserem Rahmen, die ungefähr y 21,4 km/s in unsere Richtung beträgt, so werden wir sagen$v_f=-21.4km/s$um alle Schilder auszurichten

Jetzt wissen wir, dass unsere Gesamtverbrennung die Summe der Beschleunigungsverbrennung plus der Verlangsamungsverbrennung ist.$\Delta V=v_\frac1 2 + (v_\frac 1 2 - v_f) = 2 v\frac 1 2 - v_f$. Anhand der Raketengleichung können wir nun sehen, dass wir dies mit der von uns verwendeten Treibmittelmasse in Beziehung setzen können.

Hier habe ich die Anfangsmasse in eine Endmasse plus die Masse des Treibmittels zerlegt,$m_p$. Das ist praktisch, weil wir die Treibmittelmasse aus den von Ihnen angegebenen Daten berechnen können. Wenn$k=1$, dann wissen wir, dass wir konsumieren$\frac{75}{4000}\frac{kg}{s}\cdot T$Kraftstoff, wo$T$ist die Dauer des Fluges, 110 Jahre. Eine schnelle Einheitenumrechnung und eine Multiplikation mit k to$591300kT\frac{kg}{year}$weist darauf hin, dass dies ein ziemlich hoher Massenanteil sein wird. Mit 110 Jahren werden Sie etwas mehr konsumieren$65,000,000k$Kilogramm Kraftstoff. Also für

• $k=1$,$m_p=65,000,000kg$, ($\zeta=0.984$)
• $k=5$,$m_p=325,000,000kg$($\zeta=0.9969$)
• $k=10$,$m_p=650,000,000kg$($\zeta=0.9984$)

Ich notiere den Massenanteil,$\zeta$weil es eine übliche Methode ist, Raketen zu messen. Typische Massenanteile liegen im Bereich von 0,8 bis 0,9, wobei 0,9 typisch für Single-Stage-to-Orbit (SSTO) ist. Beachten Sie, dass eine der großen Herausforderungen von SSTO darin besteht, dass es schwierig ist, einen so hohen Massenanteil zu erreichen. Wenn Sie also über die Verwendung aktueller Technologie sprechen, sollten Sie sich darüber im Klaren sein, dass dies ziemlich weit außerhalb dessen liegt, womit wir normalerweise arbeiten. Sie werden viel Treibstoff mitbringen!

Unabhängig davon können wir diese Gleichungen kombinieren, um eine übergreifende Lösung zu erhalten:

Wo$\dot m_1$ist der obige Massenstrom von a$k=1$Motor. Oder, leicht verändert,

Das ist jetzt wirklich ordentlich. Es heißt, wenn Sie ACA besuchen und nicht nur mit quälend hohen Geschwindigkeiten daran vorbeifliegen möchten, gibt es nur so viele Möglichkeiten, wie Sie dies tun können. Es besagt, dass für jede Kraftstoffdurchflussrate ($k$), gibt es genau einen$v_\frac 1 2$damit Sie genau die richtige Geschwindigkeit haben, die Sie brauchen,$v_f$. Jede andere 110 Jahre lange Verbrennung wird Sie mit der falschen Geschwindigkeit zurücklassen.

Das bedeutet, dass wir einer Antwort sehr nahe sind. Wir können ein Grundstück mit bauen$k$als unser unabhängiger Begriff und die zurückgelegte Entfernung,$d$als unser abhängiger Begriff. Alles, was wir tun müssen, ist das Ergebnis einer 2-Stufen-Verbrennung mit konstanter Kraft zu berechnen, bei der wir die erste Stufe an der Stelle ausbrennen, wo$v=v_\frac 1 2$, und dann brennen wir in die entgegengesetzte Richtung.

An dieser Stelle könnten wir eine Reihe von Integralen lösen, aber ich überlasse dies dem Leser als Übung. Im Geiste der Astrophysik rufe ich „Halt die Klappe und rechne“ und werfe alles in eine wirklich kitschige Python-Simulation. Ich mache einfach die Riemann-Integration in 1/10-Jahres-Intervallen und vertraue darauf, dass das fein genug ist, um die lächerlich ungenaue Art und Weise abzudecken, wie ich mit der Aktualisierung aller Stammfunktionen umgehe.

from math import log

ln = log # Python's log(x) is actually the natural log.  Aliasing it
         # for readability.

mf = 1000000        # kg - my own assumption
m1 = 75/4000        # kg/s
vf = -21400         # m/s
isp = 4160          # s
T  = 110 * 31556952 # s - trip length
f = 30              # N - force of the reference engine
g0 = 9.8            # m/s^2 - gravitiy on earth

def calcDist(k):
    """Returns distance traveled in light years"""
    # step 1: for given k, calculate the ship's stats
    mdot = m1 * k
    mp = mdot * T

    # step 2: compute v 1/2
    v05 = 0.5 * (vf - isp * g0 * ln(mf / (mf + mdot * T)))

    # step 3: Integrate!
    dt = 0.1 * 31556952 # arbitrary decision, dt is 1/10th of a year
    m = mf + mp  # kg
    v = 0        # m/s
    d = 0        # meters
    t = 0

    # step 3a: Burn 1 (accel)
    # stop at v1/2
    while v < v05:
        a = (f * k - mdot * v) / m # rearrange force equation
        d += v * dt
        v += a * dt
        m -= mdot * dt
        t += dt

    # step 3b: Burn 2 (decel)
    # stop when out of fuel
    while m > mf:
        a = (f * k - mdot * v) / m
        d += v * dt
        v -= a * dt # note minus sign: slowing down
        m -= mdot * dt
        t += dt

    return d / 9460730472580800 # meters to light years

k = np.linspace(100, 1000, 100)
d = [calcDist(x) for x in k]

plt.plot(k, d, '-k')
plt.axhline(4.37, linestyle="dashed") # distance to ACA
for kk, dd in zip(k, d):
    if dd > 4.37:
        plt.axvline(kk, linestyle="dotted")
        plt.text(kk + 50, dd - 0.1, "k=%d" % kk)
        break
plt.xlabel("Multiple of reference engine")
plt.ylabel("Light years")
plt.show()

Sie benötigen also das Äquivalent von 381 dieser 30-N-Ionen-Triebwerke, um die Arbeit zu erledigen, und 24800 kg Xe-Treibstoff für jeweils 1 kg Nutzlast. (für einen Massenanteil von$\zeta=0.9999596$)

Dies stimmt mit der Rückseite der Umschlagberechnungen überein, die Sie durchgeführt haben. Sie haben 218 berechnet, um dorthin zu gelangen, ohne langsamer zu werden. Das Verlangsamen erfordert 4x mehr Schub, würde also knapp 900 Triebwerke erfordern, wenn wir die abnehmende Masse nicht berücksichtigen würden. Die eigentliche Antwort liegt irgendwo dazwischen.

Beachten Sie, dass Sie sehr kreativ sein müssen, um diesen Massenanteil zu erreichen. Ihre Kraftstofftanks müssen sehr dünn und sehr groß sein und dennoch die 110-jährige Reise überstehen!

Halbzeitmasse ist der Durchschnitt von Start und Ziel.

Sie geben an, dass Sie während der Reise stetig Xenonmasse verlieren.

/Verlassen auf die verlorene Xe-Masse (die im Laufe der Zeit ein konstanter Verlust ist)/

Ihre Masse am mittleren Wendepunkt ist der Durchschnitt von voll und leer: halb voll. Wenn Sie eine Lösung für die lange Reise wünschen, arbeiten Sie Ihre Gleichungen basierend auf dem Mittelpunktgewicht. Das erhöhte Gewicht zu Beginn der Fahrt wird durch das verringerte Gewicht am Ende der Fahrt ausgeglichen, und die Berechnung funktioniert für die gesamte Fahrt.

"Aber warte!" Sie widersprechen. "Ich habe mich geirrt! Es ist kein ständiger Gebrauch! Ich benutze Xenon tatsächlich weniger schnell für die zweite Hälfte der Reise, weil das Schiff weniger massiv ist und daher weniger Kraft zum Beschleunigen benötigt als auf der ersten Hälfte!" Wahr, wahr. Dies wird dann zu einem Berechnungsproblem, um sowohl die gleichmäßig abnehmende Kraftstoffverbrauchsrate als auch die gleichmäßig abnehmende Masseverlustrate zu modellieren. Was ich gerne gelöst sehen würde, das aber meine Fähigkeiten übersteigt.