Alle zentralen Kräfte sind konservative Kräfte, aber sind alle konservativen Kräfte zentrale Kräfte?

Ich wurde gerade in das Konzept der zentralen Kräfte eingeführt und in die Tatsache, dass sie per Definition konservative Kräfte sind . Ich habe mehrere Beispiele für zentrale Kräfte (Schwerkraft, Elektrizität und Feder) nachgeschlagen, aber sie decken so ziemlich alle konservativen Kräfte ab, von denen ich je gehört habe. Gibt es konservative Kräfte, die nicht zentral sind?

Das muss es geben, denn sonst hätte es keinen Sinn, eine Unterkategorie für zentrale Kräfte zu haben, aber ich kann nirgendwo Beispiele finden.

Sie müssen mit dem Ausdruck "per/per Definition" vorsichtig sein. Im umgangssprachlichen Englisch verwenden wir diesen Ausdruck normalerweise für "es folgt logisch aus der Definition", aber in der Mathematik ist diese Verwendung nicht sinnvoll, da buchstäblich alles " logisch aus der/den Definition(en) folgt". In Mathematik und Physik verwenden wir diesen Ausdruck also normalerweise in der Bedeutung „es ist ein notwendiger Teil der Definition“. Unter dieser Verwendung sind (kugelsymmetrische) Zentralkräfte konservativ, aber sie sind "per Definition" nicht konservativ.
@tparker, in der Mathematik sollte man zwischen "per Definition/Axiom" und "per Theorem" unterscheiden. Obwohl alles aus dem grundlegenden Satz von Axiomen folgt, sind Theoreme nicht absichtlich wahr. In den Naturwissenschaften hat der Ausdruck jedoch eine noch größere Bedeutung und einen anderen Sinn, da es Postulate und Beobachtungen zu unterscheiden gilt.

Antworten (4)

Wenn ϕ = − X j , Und F = − ∇ ϕ = j ich ^ + X J ^ ist konservativ, aber nicht zentral

Eine konstante Kraft ist konservativ, aber nicht zentral.

Zum Beispiel: F → = F X ^

Sie können überprüfen, ob die Locke dieser Kraft entspricht 0 , also konservativ. Seine potentielle Energiefunktion im 3D-Raum wäre einfach v ( X , j , z ) = − F X + v 0 , Wo v 0 ist ein konstanter Wert.

Ein Beispiel hierfür ist die Annäherung an die Schwerkraft nahe der Erdoberfläche. In diesem Regime wird die Kraft als konstant angenommen, und wir erhalten die gleiche Form wie oben für die potentielle Energie. Natürlich ist die Gravitation in größeren Maßstäben eine zentrale Kraft für, sagen wir, Planeten, die um einen Zentralstern kreisen, weshalb ich zuerst die allgemeine Form gegeben habe.

Ein weiteres Beispiel für eine konservative, nicht zentrale Kraft ist eine, die eine Überlagerung (Summe) zweier zentraler Kräfte ist.

Dies ist jedoch eine Grenze der zentralen Kräfte, bei der das Zentrum ins Unendliche geht, also in der Schließung der Menge der Nichtbeispiele :)
Wenn das OP "gerade in das Konzept der Central Forces eingeführt wurde", wissen sie wahrscheinlich nicht, was die Locke ist
@RyanThorngren Nur weil eine konstante Kraft die Grenze einer zentralen Kraft ist, bei der das Zentrum unendlich ist, heißt das nicht, dass eine konstante Kraft kein Beispiel ist. Sie können eine tatsächliche konstante Kraft haben, die nicht dieser Grenze entspricht.
@tparker Ich habe Antworten auf einfacheren Ebenen gepostet, wenn das OP auf einer einfacheren Ebene ist, und hier starke Antworten von anderen erhalten, dass ich nach Möglichkeit näher darauf eingehen sollte. Ich zeige auch, dass es eine potentielle Energiefunktion für jemanden gibt, der nichts über die Kräuselung eines Vektorfeldes weiß.
@tparker-Beispiel in Kommentaren zur Frage physical.stackexchange.com/questions/419626/…

Pauls Antwort ist großartig. Aber ich habe gerade einen Fehler in den von Ihnen erwähnten Hintergrundinformationen entdeckt: Zentrale Kräfte sind nicht unbedingt konservative Kräfte. Ich schreibe es auf, damit Sie die logische Beziehung zwischen einer „zentralen“ Kraft und einer „konservativen“ Kraft besser verstehen.
Zum Beispiel können wir nehmen

F → = X ⋅ R ^
und mit ein wenig Berechnung haben wir
∂ F j ∂ X − ∂ F X ∂ j = j 3 + j z 2 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 / 2 − − j X 2 ( X 2 + j 2 + z 2 ) 3 / 2 = j R ≠ 0
Da ist das z ^ Begriff ein ∇ × F → , können wir sagen, dass die Kräuselung nicht Null ist, daher ist die Kraft nicht konservativ.
Damit eine Zentralkraft konservativ ist, muss sie auch kugelsymmetrisch sein, dh ihre Größe muss eine Funktion der Entfernung sein R nur. Damit können wir ausdrücken F als Gradient eines Skalars T
F → = F ( R ) ⋅ R ^ = ∇ T
wobei T die unbestimmte Integration von ist F ( R )
T = ∫ F ( R )
Da die Kräuselung eines Farbverlaufs immer Null ist, erhalten wir ∇ × F → = 0 , der Beweis von F konservativ sein suchen wir.

Das Gesamtpotential jeder Verteilung von Quellen eines konservativen Potentials ist selbst konservativ, aber nicht notwendigerweise zentral.

Alle zentralen Kräfte sind konservative Kräfte, aber sind alle konservativen Kräfte zentrale Kräfte?
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