Allgemeine Relativitätstheorie: Definition des lokalen Trägheitssystems

Das Einstein-Äquivalenzprinzip besagt, dass es in einem ausreichend kleinen Bezugsrahmen unmöglich ist zu wissen, ob wir uns in einem Gravitationsfeld befinden oder nicht. Entsprechend können wir nicht sagen, ob wir uns in einem beschleunigten Rahmen befinden oder nicht. Dies liegt daran, dass Schwerkraft und Trägheit äquivalent sind (daher der Name des Prinzips).

Da wir also in einem lokalen Rahmen tatsächlich nicht feststellen können, ob wir beschleunigen oder nicht, ist es sinnvoller, einen lokalen Trägheitsbezugsrahmen ( Synonym für nicht beschleunigenden Rahmen ) als "frei fallenden Rahmen" zu definieren . Tatsächlich verhalten sich die Dinge in einem lokalen frei fallenden Koordinatensystem wie in einem vollkommen trägen Koordinatensystem der speziellen Relativitätstheorie. ( M 4 )

Perfekt, aber mir scheint, dass dies implizieren sollte, dass ein lokaler Beobachter, der auf der Erde steht (also überhaupt nicht frei fällt), als beschleunigender, nicht inertialer Rahmen betrachtet werden sollte.

Ok, das scheint auch in Ordnung zu sein. Aber wir wissen, dass es eine andere, geometrischere, äquivalente Formulierung von EEP gibt:

Lokal sieht die Raumzeit aus M 4

Das ist nicht die exakte Formulierung der geometrischen Formulierung, aber gut genug. Das bedeutet, dass es sich in jeder ausreichend kleinen Region der Raumzeit so anfühlt, als befände man sich in einem Trägheitsrahmen der speziellen Relativitätstheorie , also keine Beschleunigung, keine Schwerkraft, keine Spielereien.

Aber: Wir haben vorhin gesagt, dass ich, wenn ich diese Frage auf die Erdoberfläche schreibe, als beschleunigender Rahmen betrachtet werden sollte! Aber die geometrische Formulierung besagt, dass jedes ausreichend kleine Referenzsystem, mich eingeschlossen, wie ein Trägheits-SR-System sein sollte!

Beschleunige ich also im Zusammenhang mit GR? Oder befinde ich mich im Gegenteil in einem lokalen Trägheits- SR-Rahmen? Und vor allem: Warum scheinen sich diese beiden Formulierungen von EEP zu widersprechen?

Nun, Sie beschleunigen jetzt nicht wirklich, wenn Ihre Füße den Boden berühren. Wenn nicht ein großer Stein unter uns wäre, der uns daran hindert, uns zu bewegen, würden wir im freien Fall sein und dann könnten wir nicht sagen, ob wir uns in einem beschleunigten Rahmen befinden oder nicht. Wenn Sie also diesen Beitrag nicht auf einem Laptop geschrieben haben, frei fallend in der größten Vakuumkammer der Welt, beschleunigen Sie gerade nicht. :)
Es gibt zwei Probleme: Das erste ist, dass Sie eine Frage in den Kommentaren nicht beantworten sollen. Für mich ist das in Ordnung, aber irgendwann wird ein Moderator Ihren Kommentar entfernen. Und das zweite Problem ist, dass das, was Sie sagen, im Gegensatz zur Definition des Trägheitsrahmens in GR steht. Sie antworten basierend auf der klassischen Definition des Nicht-Trägheitsrahmens.
Hinweis auf das erste Problem. Aber ich glaube nicht, dass ich falsch liege, wenn ich sage, dass die Antwort auf Ihre erste Frage nein ist, Sie beschleunigen nicht. Aber bei der größeren Interpretation des Äquivalenzprinzips stimme ich zu, dass ich die Frage nicht wirklich beantworte.

Antworten (4)

scheint mir, dass dies implizieren sollte, dass ein lokaler Beobachter, der auf der Erde steht (also überhaupt nicht frei fällt), als beschleunigender, nicht inertialer Rahmen betrachtet werden sollte.

Ja, ein Beobachter, der auf der Erde steht, ist in der Relativitätstheorie nicht träge. Der definitive Test besteht darin, den Beobachter einen guten Beschleunigungsmesser tragen zu lassen. In diesem Fall wird es eine Beschleunigung von 1 g nach oben anzeigen, was schlüssig zeigt, dass der Beobachter nicht träge ist.

Nur eine Kleinigkeit zur Sprache: ein Beobachter ist kein Referenzrahmen, er oder sie hat einen Referenzrahmen, oder noch besser, es gibt einen Referenzrahmen, in dem er oder sie ruht.

Es gibt eine andere, geometrischere, äquivalente Formulierung von EEP: Lokale Raumzeit sieht aus wie 𝕄4 Dies ist nicht die genaue Formulierung der geometrischen Formulierung, aber sie ist gut genug.

Zugegeben, für die jetzigen Zwecke ist es gut genug.

Das bedeutet, dass es in jeder ausreichend kleinen Region der Raumzeit so ist, als befände man sich in einem Trägheitsrahmen der speziellen Relativitätstheorie, also keine Beschleunigung, keine Schwerkraft, keine Spielereien.

Das bedeutet es überhaupt nicht. Sie können in 𝕄4 sicherlich beschleunigende Referenzrahmen mit Pseudogravitationskräften haben. Alles 𝕄4 bedeutet, dass Sie keine Gezeiteneffekte haben können.

𝕄4 ist eine flache Raumzeit-Mannigfaltigkeit und kann mit einer endlosen Anzahl von Koordinatensystemen ausgestattet werden, einschließlich nicht-inertialer. „Lokale Raumzeit sieht aus wie 𝕄4“ bedeutet, dass es lokale Koordinaten gibt, bei denen die Metrik die Minkowski-Metrik (erster Ordnung) ist, aber es beschränkt Sie nicht auf die Verwendung dieser Koordinatensysteme.

Physikalisch gesehen bedeutet dies, dass Gezeiteneffekte auf kleinen Skalen vernachlässigbar werden. Die messbaren Effekte der Krümmung oder der Gezeiteneffekte sind zweiter Ordnung, sodass sie bei ausreichend kleinen Skalen in die erste Ordnung übergehen.

Aber die geometrische Formulierung besagt, dass jedes ausreichend kleine Referenzsystem, mich eingeschlossen, wie ein Trägheits-SR-System sein sollte!

Nein, der Beobachter ist eindeutig nicht träge. Dem widerspricht die geometrische Formulierung keineswegs. Die geometrische Formulierung besagt lediglich, dass die Raumzeit in einem kleinen Bereich flach ist, nicht, dass ein Beobachter träge ist. Es ist völlig folgerichtig, nicht-träge Beobachter und Bezugsrahmen in der flachen Raumzeit zu haben. Nur Gezeiteneffekte sind verboten.

Nur eine kleine Klarstellung. Bezugnehmend darauf, wo Sie den dritten hervorgehobenen Text beantworten, ist die Definition eines Trägheitssystems G μ v = η μ v Und ∂ a ( G μ v = 0 Punkt. Ich denke nicht, dass dies richtig ist, weil wir Polarkoordinaten in einem Trägheitsrahmen einrichten können und ein nicht verschwindendes Christoffel-Symbol haben. Ist das richtig. 2) Sie sagen "bedeutet, dass alle Krümmungstensoren der Raumzeit über der lokalen Region 0 sind" - aber die Krümmung wird durch die 2. Ableitung der Metrik oder Ableitungen von Christoffel-Symbolen angegeben, die beide an dem Punkt nicht null sind Bitte klären Sie
@Shashaank mit deinem Punkt 2 hast du absolut recht. Was ich gesagt habe ist falsch. Ich werde es überarbeiten, um das zu beheben. Was Ihren ersten Punkt betrifft, gibt es in der Literatur tatsächlich viele Meinungsverschiedenheiten darüber, was einen Referenzrahmen definiert. Einige Leute assoziieren den Referenzrahmen mit dem Koordinatensystem, in diesem Fall wären Polarkoordinaten nicht inertial. Andere assoziieren den Referenzrahmen mit einer Tetrade, in diesem Fall spielen die Koordinaten keine Rolle. Ich sprach im ersten Sinn, obwohl ich gelegentlich den zweiten Sinn verwende. Ich werde diesen Teil so lassen, wie er ist.
Danke für die Klarstellung. Immer noch eine verwandte Sache. Unter Bezugnahme auf den Teil, den Sie bearbeitet haben – „wo die Metrik die Minkowski-Metrik ist“ – sieht die Raumzeit lokal aus M 4 bedeuten auch, dass wir an jedem Punkt die Metrik auf jede Metrik reduzieren können (nicht nur Minkowski in kartesischen Koordinaten, sondern die Metriken, die durch beliebige Koordinatentransformationen der Minkowski-Metrik erhalten werden; wie Transformation in Polarkoordinaten oder beschleunigte Frames oder was auch immer) mit der einzigen Bedingung, dass at An dem gegebenen Punkt, an dem diese neue Metrik gültig ist, ergibt die neue Metrik 0 Reimann-Tensorkomponenten …….
Bitte beachten Sie, wenn Sie das oben Gesagte berücksichtigen, dass ich nicht sage, dass die Ableitungen der Christoffel-Symbole für die alte Metrik (gültig für die gesamte Mannigfaltigkeit) Null sind (wie ich im ersten Kommentar gezeigt habe), sondern nur, dass die Metrik, die Sie an jedem Punkt erhalten, sollte nicht unbedingt Minkowski in kartesischer Sprache, sondern Minkowski in JEDER Koordinate mit der Bedingung, dass der Reimann-Tensor, den Sie aus dieser Metrik erhalten, 0 ist. Ist das richtig? Ich glaube schon. Denn „sieht vor Ort so aus M 4 bedeutet, dass Sie Minkowski-Metrik in beliebigen Koordinaten haben können; Die Minkowski-Metrik ist in allen Koordinaten flach.
Ja, obwohl der Teil „auf erste Bestellung“ für ungewöhnliche Koordinaten anders sein wird
Einverstanden, die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Metrik müssen 0 sein. Und ich denke, ich sollte jedem, der dies liest, noch einen Punkt klar machen. Was ich im letzten Kommentar zu „lokal gefällt M 4 “ gilt für jeden lokalen Trägheitsrahmen (Frames in GR at local) mit einer Modifikation für lokale Trägheitsrahmen, die darin besteht, dass wir die Metrik an jedem Punkt auf Minkowski Cartesian oder Minkowski Polar usw. reduzieren können, aber NICHT auf den Minkowski-beschleunigten Rahmen. Es gibt einen Unterschied zwischen „lokal wie M 4 “ und nur Trägheitsrahmen. Hinterlassen Sie eine positive Bewertung, wenn Sie damit einverstanden sind. Nochmals vielen Dank für die Klarstellung.
Nun, Schwarzschild-Koordinaten können an jedem Punkt außerhalb des Horizonts lokal entweder in Minkowski oder Rindler umgewandelt werden. Wenn also die Behauptung „NICHT nach Minkowski beschleunigt“ in einigen Raumzeiten richtig ist, ist dies kein allgemeines Prinzip
Ja, aber der Punkt ist nur „Minkowski kartesisch oder polar“ sind die Koordinaten eines lokalen Trägheitssystems, während die „Rindler“-Koordinaten die Koordinaten eines beschleunigten (in Bezug auf ein lokales Trägheitssystem) sind. Und deshalb habe ich gesagt, dass sich das Reduzieren der Metrik auf lokal Minkowski (in beliebigen Koordinaten, ob beschleunigt oder polar oder Rindler) vom Erstellen von Koordinaten für einen lokalen Trägheitsrahmen unterscheidet (für den nur Minkowski kartesisch und polar, aber nicht Minkowski beschleunigt sind erlaubt). Ist es nicht … oder vielleicht liege ich falsch, was den Rindler-Koordinatenteil betrifft.
Ich weiß nicht, was Sie hier sagen wollen. Ich habe bereits erklärt, dass ich Polarkoordinaten nicht als inertial einstufen würde. Ich würde nur Koordinaten, in denen die Metrik Minkowski (in erster Ordnung) ist, als (lokal) inertial klassifizieren. Wie auch immer, wir erhalten die Warnung "Verlängerte Diskussionen vermeiden". Rindler-Koordinaten sind nicht inertial, aber es ist immer noch eine vollkommen legitime (lokale) Koordinatentransformation.

Wenn Sie auf der Erdoberfläche stehen, ist das relativ zu Ihnen ruhende Referenzsystem sicherlich kein System mit Minkowski-Metrik. Hier ist der Beweis: Lassen Sie ein Objekt los, so dass es sich im freien Fall befindet. Es gibt eine relative Beschleunigung zwischen dem Objekt und dem gewählten Rahmen. Daher ist der Rahmen nicht inertial und seine Metrik ist nicht Minkowskisch.

Um einen Tangentialraum in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu definieren, reicht es nicht aus, dass die Metrik nur bei einem Ereignis Minkowskisch ist. Es muss Minkowskisch sein UND keine Abhängigkeit erster Ordnung von Entfernung oder Zeit in der Nähe dieses Ereignisses haben. Mit anderen Worten, die Christoffel-Symbole müssen alle verschwinden. Da das freigesetzte Objekt jedoch relativ zu dem auf der Erde ruhenden Rahmen beschleunigt, ist mindestens eines der Christoffel-Symbole nicht Null.

Diese Antwort ist im Geiste richtig, aber ich glaube respektvoll, dass Sie in Ihrem zweiten Absatz einige Details falsch verstanden haben. Eigentlich für jeden Punkt P Auf jeder Mannigfaltigkeit (einschließlich gekrümmter Mannigfaltigkeiten) existiert ungefähr ein Riemann-Normalkoordinatensystem P in dem die Christoffel-Symbole alle verschwinden P . Sie können also an einem Punkt immer noch Gravitationseffekte haben, selbst wenn alle Christoffel-Symbole verschwinden. Um an einem Punkt wirklich "schwerkraftfrei" zu sein (Nullkrümmung), muss die Abhängigkeit der Metrik zweiter Ordnung von der Raumzeit verschwinden, oder äquivalent dazu dürfen die Christoffel-Symbole nicht nur verschwinden P ...
... aber auch ihre Variation erster Ordnung verschwinden. Siehe meine (viel zu lange und weitschweifige) Antwort für weitere Diskussionen.
Entsprechend: Sie können immer einen Tangentialraum an jedem Punkt einer (glatten) Mannigfaltigkeit definieren, unabhängig davon, ob sie an diesem Punkt flach ist oder nicht. Der Punkt ist, dass, wenn der Basisverteiler an einem Punkt gekrümmt ist P , dann "stimmt" der Tangentenraum nur mit der Mannigfaltigkeit erster Ordnung (der "flachen Ordnung") überein, und die beiden beginnen bei zweiter Ordnung abzuweichen.
@tparker Danke für den Kommentar; Ich kenne mich mit der Riemann-Geometrie aus, also ist dies eine Frage der Terminologie und was unserer Meinung nach das Äquivalenzprinzip aussagt. Man kann immer einen Rahmen finden, in dem die Krümmungseffekte nur in zweiter Ordnung und nicht in erster Ordnung in der Metrik auftreten. Aber in einem Rahmen, der sich nicht bewegt, rel. zur Erdoberfläche kommen sie in erster Ordnung, also ist das kein lokales Inertialsystem. Sie scheinen sagen zu wollen, dass es keinen lokalen Trägheitsrahmen gibt, wenn die Krümmung nicht Null ist, aber das ist nicht die Standardterminologie.
Okay, ich verstehe, was Sie sagen, ich glaube, ich habe die Frage des OP möglicherweise falsch interpretiert (oder zumindest anders interpretiert), aber wir sind uns im Wesentlichen einig.

Tolle Frage. Wenn ich Ihre Frage etwas umformulieren könnte, glaube ich, dass Sie durch den offensichtlichen Widerspruch zwischen diesen beiden Aussagen zum Äquivalenzprinzip verwirrt sind:

  1. Jede Mannigfaltigkeit in GR sieht lokal wie ein Minkowski-Raum aus.
  2. Sogar (sehr kleine) lokale Rahmen können Gravitationseffekte zeigen (z. B. können Sie spüren, wie Sie „nach oben beschleunigen“, wenn Sie auf der Erdoberfläche stehen).

Ihr Einwand ist, dass die Aussage 1 zu implizieren scheint, dass es über sehr kleine Bereiche der Raumzeit keine beobachtbaren Gravitationseffekte geben kann, während Aussage 2 zu implizieren scheint, dass es solche geben kann.

Die Auflösung dieses scheinbaren Widerspruchs besteht darin, dass die Aussagen 1 und 2 unterschiedliche quantitative Begriffe des Wortes „lokal“ verwenden und Aussage 1 das Wort „lokal“ auf kleinere Regionen beschränkt als Aussage 2.

Genauer: Aussage 1 lässt sich präziser umformulieren als:

Für jeden Punkt P auf jeder pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit (dh Raumzeit) gibt es ein lokales Koordinatensystem um sie herum P in der die Taylor-Entwicklung des metrischen Tensors mit der Minkowski-Metrik übereinstimmt η zur ersten Bestellung über P .

Mit anderen Worten, G ( P ) = η Und ∂ μ G ( P ) ≡ 0 in diesen speziellen Koordinaten (die als Riemann-Normalkoordinaten bekannt sind). Wenn Sie also „lokal“ so definieren, dass „so klein, dass nur Schwankungen erster Ordnung nicht vernachlässigbar sind“, was die implizite Annahme in Aussage 1 ist, dann können tatsächlich keine Gravitationseffekte lokal nachgewiesen werden.

Aber es stellt sich heraus, dass die Auswirkungen der Krümmung (oder der Beschleunigung des "Besitzers" eines lokalen Koordinatensystems) notwendigerweise in zweiter Ordnung in die Metrik eingehen. Etwas präziser:

Eine Mannigfaltigkeit hat an einem Punkt eine Eigenkrümmung P iff die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung des metrischen Tensors ungefähr P weicht von der Minkowski-Metrik ab.

Oder noch genauer:

An jedem Punkt P auf jeder pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des metrischen Tensors ∂ μ ∂ v G ( P ) sind entweder in jedem Koordinatensystem identisch Null oder haben in jedem Koordinatensystem einige Nicht-Null-Komponenten. Daher der Vorschlag ∂ μ ∂ v G ( P ) ≡ 0 ist koordinatenunabhängig. Der Riemannsche Krümmungstensor verschwindet bei P iff ∂ μ ∂ v G ( P ) ≡ 0 in irgendeinem Koordinatensystem (und daher in allen).

Daher können Sie die Taylor-Entwicklung der Metrik um einen Punkt immer mit der Minkowski-Metrik in erster Ordnung übereinstimmen lassen (indem Sie Riemann-Normalkoordinaten verwenden), aber Sie können sie nicht in Übereinstimmung mit zweiter Ordnung bringen, wenn die Mannigfaltigkeit an einem Punkt gekrümmt ist P . Da Gravitationseffekte eine physikalische Manifestation der Krümmung der Raumzeit-Mannigfaltigkeit sind, können Sie sie erkennen, wenn Ihr lokaler Rahmen groß genug ist, um Abweichungen zweiter Ordnung um den Punkt zu erfassen P . Diese etwas schwächere Bedeutung von „lokal“ ist die Bedeutung, die in Aussage 2 verwendet wird. Wenn Ihre Region der Raumzeit in Zeitrichtung nur „erster Ordnung groß“ ist, dann haben Sie keine Zeit, eine relative Beschleunigung einer nahen zu messen Testpartikel.

(Übrigens können Sie eigentlich keine Kräfte, die eine Beschleunigung hervorrufen, sondern nur Kräfte, die eine Gezeitenbeschleunigung hervorrufen - allgemein definiert als jede räumliche Variation im Beschleunigungsfeld. Der einzige Grund, warum Sie fühlen können, wie die Erde Sie nach oben beschleunigt, ist, weil Ihr Körper ist groß genug, dass die Terme zweiter Ordnung in der Metrik (die proportional zur Beschleunigungskonstante sind G ) sind nicht zu vernachlässigen. Sie sind vielleicht nicht daran gewöhnt, sich die elektrostatische Abstoßungsbeschleunigung der Erde, die auf Sie drückt, als eine „Gezeiten“-Beschleunigung vorzustellen, aber es ist so: Der einzige Grund, warum Sie sie fühlen können, ist, dass sie an den Sohlen Ihres Gefühls angewendet wird, aber nicht anderswo auf Ihren Körper, was interne Kompressionskräfte in Ihrem Körper hervorruft, die Sie spüren. Wenn es irgendwie so verteilt wäre, dass es eine gleichmäßige Beschleunigung über Ihren ganzen Körper hervorruft, dann würde es genau wie die Schwerkraft funktionieren und Sie könnten es nicht spüren.)

Danke für die Antwort. Können Sie auch den Unterschied zwischen einem Inertialsystem, einem Lorentz-System, einem lokalen Minkowski-Raum und einem flachen Minkowski-Raum erklären?

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist ziemlich klar. Als Beobachter auf der Erdoberfläche befinden Sie sich in einem sich beschleunigenden (nicht trägen) Koordinatensystem. Ihre andere Formulierung ist folglich nicht gut genug. Nur Trägheitsrahmen sehen aus wie Minkowski-Rahmen, wie sie in der speziellen Relativitätstheorie verwendet werden. Das ist die Essenz des Äquivalenzprinzips, und es sollte klar sein, dass nur eine Ihrer Formulierungen richtig ist.

Der Standardtest eines Trägheitsrahmens ist die Verwendung eines Beschleunigungsmessers (möglicherweise haben Sie sogar einen in und eine App für Ihr Mobiltelefon). Sie können daher feststellen, ob Sie sich in einem Inertialsystem befinden, ohne über Ihre unmittelbare Umgebung hinauszublicken.

Aber in GR stellen wir auch fest, dass die Raumzeit eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist, und eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit in jedem Punkt wie die Minkowski-Raumzeit aussieht. Sogar auf der Erdoberfläche sollte ich die Minkowski-Raumzeit in einem lokalen Bezugssystem erhalten, und das bedeutet, dass ich mich in einem Trägheits-SR-System befinden sollte. Siehst du mein Problem?
Sie verstehen nicht, was das bedeutet. Jeder Punkt hat einen Minkowski-Tangentenraum, aber die Minkowski-Tangentenräume beziehen sich auf Rahmen im freien Fall. Die Erdoberfläche befindet sich nicht im freien Fall.
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