Die Notizen meines Professors besagen, dass es nach dem Äquivalenzprinzip ein frei fallendes Koordinatensystem gibt, in dem die Bewegungsgleichungen für ein freies Teilchen stehen (1) wo sind die Koordinaten im lokalen Trägheitskoordinatensystem, auf die zentriert ist = (0, 0,0,0) . Dann geht er weiter und führt eine allgemeine Koordinatentransformation durch System zur Ableitung der geodätischen Gleichung.
Meine Frage ist, was die Ausdehnung des Koordinatensystems ist . Für mich sieht es so aus, dass Gleichung (1) nur in der unmittelbaren Umgebung des Punktes wahr ist, an dem das Koordinatensystem zentriert ist, und wenn Sie sich um eine endliche Entfernung von diesem Punkt entfernen, wird Gleichung (1) nicht mehr gelten wie an einem anderen Punkt (zentriert bei (0, 0,0,0) ) ist kein frei fallendes Minkowski-Koordinatensystem.
Stimmt das oder gilt Gl. (1) für die ganze Flugbahn des Teilchens und so Koordinaten gelten auch für die gesamte Trajektorie. Und auch ob sind die Koordinaten für die ganze Mannigfaltigkeit.
Kann mir diesbezüglich jemand weiterhelfen.
Zu Ihrer 1. Frage: Ich denke, Sie haben insofern recht, als Sie zu dem Schluss kommen, dass die Gleichung lokal wahr ist. Beachten Sie jedoch, dass diese Gleichung als Tensorgleichung in jedem (definierten) Punkt des Koordinatendiagramms lokal wahr ist. Da es in einem ausreichend kleinen Gebietsschema immer zutrifft und das Teilchen per Definition immer innerhalb dieses Gebietsschemas existiert, erwartet man, dass die geodätische Gleichung (und, glaube ich, die Verwendung der Epsilon-Koordinaten in der Ableitung) dies tut gelten für die gesamte Trajektorie. Für Ihre 2. Frage: Die x-Koordinaten müssen nicht die Koordinaten der gesamten Mannigfaltigkeit sein - es hängt davon ab, wie die Mannigfaltigkeit definiert ist. Das Tolle an Tensorgleichungen ist jedoch, dass sie im Allgemeinen in der gesamten Mannigfaltigkeit wahr sind!