Wie kann man aus dem Einstein-Äquivalenzprinzip folgern, dass ein Testteilchen geodätisch folgen sollte?

Das besagt das Einstein-Äquivalenzprinzip (EEP).

Ein relativ zu einem Inertialsystem in der speziellen Relativitätstheorie linear beschleunigtes System ist LOKAL identisch mit einem System, das in einem Gravitationsfeld ruht.

Und aus dieser Antwort geht auch hervor, dass das EEP zu der Schlussfolgerung führt, dass ein Testteilchen geodätisch folgen soll.

Der Grund dafür, dass das Äquivalenzprinzip für GR zentral ist, liegt darin, dass Sie das Gravitationsfeld überhaupt mit einem metrischen Tensor darstellen können – Sie können eine Kraftgleichung durch eine geodätische Gleichung für eine Testmasse ersetzen, gerade weil die Geodätisch, dem diese Testmasse folgt (oder die "Beschleunigung", die von einer Newtonschen Masse gefühlt wird), ist unabhängig von der Masse dieses Testteilchens.

Aber ich verstehe nicht, wie ich logisch aus dem Einstein-Äquivalenzprinzip schließen kann, dass ein Testteilchen geodätisch folgen sollte. Irgendwelche Ideen?

verwandt: physical.stackexchange.com/q/24359 (Aber ich denke, die beiden Fragen sind unterschiedlich, da es hier darum geht, wie die geodätische Hypothese aus dem EP folgt, nicht aus GR.)

Antworten (2)

Aus dem EEP folgt, dass Sie bei einem frei fallenden Testpartikel in der Lage sein sollten, einen lokalen kartesischen Koordinatenrahmen zu definieren, in dem:

a) Das Testteilchen ist in Ruhe. b) die Physik wird lokal durch die Physik in Minkowski-Zeit beschrieben.

Insbesondere in diesem Rahmen müssen alle Christofel-Symbole auf Partikelweltlinie verschwinden. Wir schließen trivialerweise, dass in diesem lokalen Koordinatensystem die Weltlinie parallel die 4-Geschwindigkeit des Testteilchens transportiert. Da die 4-Geschwindigkeit auch die Weltlinie tangiert, transportiert die Weltlinie parallel ihren eigenen Tangentenvektor, die Definition einer Geodäte.

Das EEP impliziert also, dass Testpartikel der Geodäte folgen müssen.

Das scheint mir in Ordnung zu sein. Warum die Ablehnung?
Vielleicht stellt sich die Frage, wie das Äquivalenzprinzip überhaupt zur Geometrie führt. Wie aus dem Erfordernis (freies Fallen) = (in Ruhe weit entfernt von Gravitationsquellen) kommen wir zum Begriff der gekrümmten Raumzeit.

Eine Möglichkeit, das EP zu erklären, ist, dass Eötvos-Experimente keine Ergebnisse liefern sollten. Wenn Testpartikel nicht der Geodäte folgen, dann scheint es wahrscheinlich, dass sie nicht-null Ergebnisse von Eotvos-Experimenten liefert.

Hier geht es nur um die EP, nicht um GR genauer. Wir möchten, dass die allgemeine Relativitätstheorie dem EP gehorcht, aber das ist vage, weil das EP schwer streng zu definieren ist. Einige gründlichere Arbeiten dazu wurden von Ehlers und Geroch durchgeführt, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0309074v1 . Ohne eine Energiebedingung können Sie die geodätische Bewegung von Testteilchen in GR nicht beweisen. Ich habe eine einfache Version ihrer Argumentation in meinem GR-Buch , Abschnitt 8.1.3 , niedergeschrieben .

Sie meinen, es ist eine Energiebedingung erforderlich, um aus EEP "Testteilchen folgt geodätisch" abzuleiten?
Ich denke, die Energiebedingungen sind nur notwendig, um zu beweisen, dass sich kleine Körper immer wie Testkörper verhalten, wenn ihre Masse gegen Null geht. Sie sind zum Beispiel völlig unnötig, um zu beweisen, dass Schwarze Löcher Geodäten im Grenzbereich der Nullmasse folgen.
@Graviton: Du meinst, dass es eine Energiebedingung erfordert, um aus EEP "Testpartikel folgt geodätisch" abzuleiten? Nein, Sie brauchen einen Energiezustand, um dies aus GR abzuleiten, nicht um es aus dem EP abzuleiten. Und dies sind zwei unterschiedliche Bedeutungen von "ableiten", da GR eine mathematisch gut definierte Theorie ist und das EP nicht vollständig gut definiert ist. Siehe Sotiriou et al., „Theory of gravitation theories: a no-progress report“, z. B. arxiv.org/abs/0707.2748 .
@mmeent: Sie sind zum Beispiel völlig unnötig, um zu beweisen, dass Schwarze Löcher Geodäten an der Grenze der Nullmasse folgen. Das mag stimmen, obwohl es für mich überhaupt nicht offensichtlich ist. Schwarze Löcher passen nicht in die Annahmen des Beweises von Ehlers und Geroch. In ihrem Beweis stellen sie Bedingungen so auf, dass in einer bestimmten Grenze die Störung des Gravitationsfeldes durch das Testteilchen verschwindet und Sie die Hintergrundraumzeit wiederherstellen. Bei einem Schwarzen Loch funktioniert das nicht, da sich die Topologie mit dem Schwarzen Loch von der Topologie ohne Schwarzes Loch unterscheidet.
Die Ursache des Schwarzen Lochs ist alles andere als trivial, folgt aber aus einer asymptotischen Expansionsanalyse. Siehe (zum Beispiel) einige der jüngsten Artikel von Adam Pound.
Wie kann man aus dem Einstein-Äquivalenzprinzip folgern, dass ein Testteilchen geodätisch folgen sollte?
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