Verwirrung um das Äquivalenzprinzip

Es gibt zwei Hauptpunkte

1. Die Flugbahn, auf der sich Partikel bewegen, extremisiert die Aktion. Das bedeutet, dass die Aktion bei infinitesimalen Störungen der Trajektorie invariant ist und nicht unbedingt bei endlichen Störungen.

2. das Integral$\int\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^nu}$entlang der Kurve ist wirklich die Eigenzeit der Kurve$\int_{\gamma(t_{init})}^{\gamma(t_{fin})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt$. Dies ist unabhängig von den Koordinaten. Trennt man dann das Integral auf$N$infinitesimale Intervalle:
   

   $$\sum_{i=0}^N\int_{\gamma(t_i)}^{\gamma(t_{i+1})} \sqrt{-g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}dt,$$ Wo$t_0=t_{init}$Und$t_N=t_{fin}$Sie können tatsächlich verschiedene lokale Trägheitskoordinaten für jedes Intervall verwenden, und dies muss das gleiche Ergebnis liefern wie die Verwendung jedes anderen Koordinatensystems. Aber wir wissen, dass jedes Intervall bis zu dasselbe Ergebnis liefert$o((t_{i+1}-t_i)^2)$als entsprechende STR-Formel, so dass nach Aufsummieren aller Intervalle das Ergebnis immer noch steht$o(\Delta t)$, dh die Ergebnisse sind gleich.

Die Lokalität ist also tatsächlich da, versteckt im Variationsprinzip.

Ich finde die Argumentation von Umaxo sehr schön und trägt sehr zum Verständnis bei. Es ist jedoch kein Beweis dafür, dass der Ersatz von$\eta_{\mu\nu}$von$g_{\mu\nu}$ist das einzig Mögliche, wenn man eine Theorie bekommt, die das Äquivalenzprinzip respektiert und sich auf die spezielle Relativitätstheorie in flacher Raumzeit reduziert. Man könnte der Formel für die Aktion weitere Terme hinzufügen, die den Riemann-Krümmungstensor (oder seine Kontraktionen) beinhalten, und eine solche Aktion würde sich im Fall einer Krümmung von Null immer noch auf die spezielle Relativitätstheorie reduzieren. Ich denke, das Beste, was man, ausgehend von der speziellen Relativitätstheorie, behaupten kann, ist, dass der Ersatz von$\eta_{\mu\nu}$von$g_{\mu\nu}$Hier ist der einfachste Weg, um eine skalare Größe zu erhalten, die möglicherweise als Lagrangian dienen könnte. Man überprüft dann durch Analyse, ob es tatsächlich vernünftige Vorhersagen macht, und wird daher ermutigt, es als Vermutung oder, wenn Sie es vorziehen, als Teil einer physikalischen Theorie vorzuschlagen. Dann muss man es durch Experimente testen.

Allerdings ist ein interessanter Aspekt der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass man die Wirkung des „Feldes“ (also der Raumzeit und ihrer Krümmung) auf Teilchen nicht als unabhängige Aussage aus der Feldgleichung (hier der Einstein-Gleichung) vorschlagen muss. Das liegt daran, dass man behaupten kann, dass sich ein Testteilchen genauso bewegen sollte wie eine lokale Änderung oder „Beule“ im Feld, und die Feldgleichung sagt dieser lokalen „Beule“, wie sie sich bewegen soll. Darauf wird unter anderem im MTW-Lehrbuch eingegangen.