Warum kann Newtons 1. Gesetz nicht als autoparalleler Transport im Raum ausgedrückt werden?

In der Frage wird das 1. Newtonsche Gesetz erwähnt, in Vorlesung 9 geht es jedoch um das 2. Newtonsche Gesetz. Die Struktur des letzteren erlaubt keine parallele Transportbeschreibung. Der Grund dafür ist, dass die Schwerkraft im Allgemeinen vom Punkt abhängt, sodass eine parallele Transportablesung von Newton nur in einem sehr begrenzten Bereich der Raumzeit gültig ist. In der Vorlesung wird ein Beispiel eines am Nordpol fallenden Objekts im Vergleich zu einem am Südpol fallenden Objekt gegeben; keine Möglichkeit, ein Koordinatensystem zu finden, um beides als parallelen Transport zu beschreiben.
Ein anderer Fall ist Newtons 1. Gesetz, wenn keine Schwerkraft vorhanden ist, dh die Newtonsche Kraft null ist. In diesem Fall die$\Gamma's$sind ebenfalls null und der parallele Transport reduziert sich auf die Geradengleichung in einem euklidischen Raum.

Wenn Sie GR kennen , mag Sie diese Frage ärgern, da ein relativistisches Punktteilchen in einem Gravitationsfeld tatsächlich der Geodäte (einer speziellen Art von Autoparallel ) in der Raumzeit folgt.

Aber der Teufel steckt im Detail: Prof. Schuller spricht von Autoparallelen im Raum, nicht in der Raumzeit. Und er macht den Fall, dass die Gravitationsbeschleunigung$\vec{g}$(der von der Position abhängt, nicht von der Geschwindigkeit) kann nicht durch einen Term quadratisch in der Geschwindigkeit emuliert werden, wie er in der Autoparallelengleichung benötigt wird, vgl. OPs Gl. (1).

Später um 36:06 in derselben Vorlesung 9 betrachtet Prof. Schuller dieselbe Frage in der Raumzeit (im Gegensatz zum Raum ) und zeigt, dass ein Punktteilchen in einem Gravitationsfeld einer Autoparallel in der Raumzeit folgt: In der statischen Eichweite$x^0=t$der Raumzeit die Gravitationsbeschleunigung$g^{\alpha}$kann das neue reproduziert werden$\Gamma^{\alpha}_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0$Sektor.