Die Einstein-Cartan-Theorie ist insofern eine Verallgemeinerung der Allgemeinen Relativitätstheorie, als die Bedingung, dass die metrische affine Verbindung torsionsfrei ist, wegfällt. Mit anderen Worten, die Raumzeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit zusammen mit dem Datum einer metrischen affinen Verbindung (die sich von der Levi-Civita-Verbindung durch einen geeigneten Verzerrungstensor unterscheiden kann).
In diesem Fall unterscheiden sich Geodäten (Pfade, die die Länge lokal extremalisieren und die durch ein Variationsprinzip gegeben sind) im Allgemeinen von Autoparallelen. Soweit ich weiß, werden die Flugbahnen spinloser Teilchen in der Einstein-Cartan-Theorie normalerweise als Geodäten (und nicht als Autoparallel) angenommen, sodass sie den Unterschied zwischen der gegebenen Verbindung und der Levi-Civita-Verbindung nicht spüren. (Gibt es übrigens eine gute Referenz für diese Aussage?)
Meine Frage ist, wie sollen sich klassische Teilchen mit Spin verhalten? Werden sie sich auch entlang Geodäten bewegen, mit dem einzigen Unterschied, dass sich ihre Spinrichtung gemäß dem Contorsion Tensor (angesehen als a -bewertete Einsform)?
Nein. Teilchen mit Spin werden die Torsion nicht nur durch ihre Spinpräzession spüren, da die Bewegungsgleichungen für sie (Mathisson-Papapetrou-Gleichungen) den asymmetrischen Teil der Verbindung enthalten werden.
Eine Quelle für die Frage ist die Überprüfung
Hehl, FW, Von der Heyde, P., Kerlick, GD, & Nester, JM (1976). Allgemeine Relativitätstheorie mit Spin und Torsion: Grundlagen und Perspektiven. Rev. Mod. Phys., 48(3), 393. (es gibt eine Online-Version ).
Daraus lernen wir:
Wir haben bereits angedeutet, dass Photonen- und spinlose Testteilchen keine Torsion spüren. Ein Testpartikel drin Theorie, die Torsion wahrnehmen könnte, ist ein Teilchen mit dynamischem Spin wie das Elektron. Seine Bewegungsgleichung erhält man durch Integration des Energie-Impuls-Erhaltungssatzes (3.12). Dabei erhalten wir direkt die Gleichung vom Typ Mathisson-Papapetrou für die Bewegung eines rotierenden Testteilchens (Hehl, 1971; Trautman, 1972c) Adamowicz und Trautman (1975) haben die Präzession eines solchen Testteilchens in einem Torsionshintergrund untersucht. All diese Überlegungen scheinen jedoch nur von akademischem Interesse zu sein, da Torsion nur innerhalb von Materie auftritt. Dort wird der Begriff eines sich drehenden Testteilchens unklar (H. Gollisch, 1974, unveröffentlicht). Nur Neutrinos, deren Spin-Selbst-Wechselwirkung verschwindet, scheinen mögliche Kandidaten dafür zu sein Testpartikel.
(Hehl, 1971) Hinweis hier ist anscheinend Originalergebnis zur Bewegung des Testteilchens mit Spin:
Hehl, FW (1971). Wie misst man die Torsion der Raumzeit? Phys. Lette. A, 36(3), 225-226. ( http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(71)90433-6 )
Für eine modernere Notation (Tetradenformalismus) für die erwähnten Mathisson-Papapetrou-Gleichungen können Sie die These verwenden:
Laskoś-Grabowski, P. (2009). Die Einstein-Cartan-Theorie: Bedeutung und Folgen der Torsion. Masterarbeit S. 17-19
Die dortigen Verweise sollten alle weiteren Informationen liefern.