Unterschiede zwischen dem Spin der QFT und der Einstein-Cartan-Theorie?

Guten Abend an alle,

Derzeit studiere ich QFT und Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) und der Einstein-Cartan (EC) Theorie. Ich habe nämlich gerade die Definition des Belinfante-Rosenfeld-Spannungs-Energie-Tensors und seine besondere Äquivalenz mit dem gewöhnlichen symmetrischen Spannungs-Energie-Tensor von GR studiert. Dann verstehe ich, dass diese Definition des Spannungs-Energie-Tensors die geeignetste sein könnte, da sie die Erhaltungsgesetze von QFT/GR bzw. aufgrund der empirischen Beweise von QFT/GR erfüllt.

Ich verstehe jedoch das Konzept des "Spins" nicht, wenn GR oder EC in Betracht gezogen werden. Ich habe von S. Weinberg - Gravitation and Cosmology die folgende Definition für einen Spinvektor gesehen:

$S_{\mu}=\epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\,J^{\nu \lambda}\,u^{\rho}$,

Wo$J^{\nu \lambda}=\int{(x^{\nu}\,T^{\lambda 0}-x^{\lambda}\,T^{\nu 0})\,dx^{3}}$,$T^{\lambda \rho}$ist der Spannungs-Energie-Tensor (ich denke, es ist der kanonische Spannungs-Energie-Tensor, obwohl er in dem von Weinberg betrachteten speziellen Fall symmetrisch ist) und$u^{\rho}$ist die Vierergeschwindigkeit.

Ich nehme an, dass diese Definition die korrekten Ausdrücke für den Spin von Skalar-, Spinor- und Vektorfeldern reproduzieren sollte, indem sie den Ausdruck des Spannungs-Energie-Tensors solcher Felder berücksichtigt. Ist das richtig?

Andererseits verstehe ich die Spintensorgröße nicht$\frac{\delta S}{\delta \Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}}$in der EG-Theorie vorhanden, wo$\Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}$sind die Komponenten der affinen Verbindung mit Torsion. Was ist der Unterschied zwischen diesem Spin-Tensor und dem oben definierten Weinberg-Spin-Vektor? Zum Beispiel ist gemäß der EC-Theorie der Spintensor der Materie identisch Null, wenn der Torsionstensor verschwindet und der GR wiederhergestellt wird, es gibt jedoch andere Größen (wie oben zu sehen ist), die den Spin der Materie in einem solchen Fall von GR darstellen . Was ist dann, auch unter Berücksichtigung der empirischen Beweise, der angemessene Ausdruck für den Spin der Materie?

Meiner Meinung nach ist eine mögliche Antwort, dass der in der EC-Theorie vorhandene Spintensor die einzigartige Größe zur Darstellung des Spins der Materie in dieser Theorie ist und daher die einzigartige Eigenschaft hat, zu verschwinden, wenn die Torsion Null ist, so dass dieser Rahmen die Existenz erfordert der Torsion, um rotierende Quellen in das Universum einzuführen (da GR Krümmung verlangt, wenn ein Spannungs-Energie-Tensor vorhanden ist). Darüber hinaus ist der von Weinberg et al. braucht das Vorhandensein von Torsion nicht und erreicht es, den Spin der Materie ohne das Vorhandensein von Torsion (dh in einer gekrümmten Raumzeit allein) zu beschreiben, so dass beide Ansätze mit den aktuellen empirischen Erkenntnissen kompatibel sind, aber aus theoretischer Sicht Ansicht haben sie grundlegende Unterschiede. Ist das richtig?

Außerdem weiß ich, dass der Spannungs-Energie-Tensor von EC im Allgemeinen asymmetrisch ist, und ich habe kein Problem mit diesem Ergebnis, nur mit den möglichen Beziehungen und Unterschieden zwischen den Spingrößen der genannten Theorien.

Mit freundlichen Grüßen.