Interpretation der Raychaudhuri-Gleichung und die Anziehungskraft der Schwerkraft

In vielen Büchern wird behauptet, dass die Raychaudhuri-Gleichung eine Art "Beweis" dafür ist, dass die Schwerkraft in der allgemeinen Relativitätstheorie anziehend ist.

Ich würde gerne ein Zitat aus einem Buch sehen, das dies tatsächlich sagt. Es klingt für mich einfach falsch. Eine vernünftigere Aussage wäre die folgende. Viele Formen von Materie, die wir kennen (aber nicht dunkle Energie), gehorchen bestimmten Energiebedingungen . Eine dieser Energiebedingungen ist die starke Energiebedingung (SEC), die im Grunde besagt, dass die Schwerkraft anziehend ist. Die Allgemeine Relativitätstheorie behauptet nicht, dass die Schwerkraft immer anziehend ist, und tatsächlich wissen wir jetzt aus kosmologischen Beobachtungen, dass die Schwerkraft nicht immer anziehend ist.

Die Raychaudhuri-Gleichung beschreibt das Ergebnis der SEC. Wenn zum Beispiel die SEC gilt, dann besagt die Raychaudhuri-Gleichung, dass die kosmologische Expansion immer langsamer werden muss, niemals beschleunigen. Und weil die SEC für dunkle Energie falsch ist, beschleunigt sich die kosmologische Expansion derzeit tatsächlich.

Oder, wenn nicht, zeigt dieses Beispiel nicht, dass die Schwerkraft anziehend und doch divergierend wirken kann?

Sowohl die starke Energiebedingung als auch die Raychaudhuri-Gleichung beschreiben ein Paket von Testteilchen in drei Dimensionen. Sie können das nicht mit nur zwei Testpartikeln untersuchen.

Es gibt eine schöne Einführung in die Raychaudhuri-Gleichung in dem Artikel On the Raychaudhuri-Gleichung von George Ellis, Pramana Vol. 69, Nr. 1, Juli 2007${}^1$. Er gibt die folgende intuitive Erklärung dafür, wie es die anziehende Natur der Schwerkraft zeigt:

Ellis gibt die Gleichung in der Form an:

Dann weist er darauf hin, dass wir eine repräsentative Längenskala wählen$\ell$das hängt damit zusammen$\Theta$von:

Und wenn wir dies ersetzen, erhalten wir:

Die linke Seite der Gleichung sagt uns, ob die Änderungsrate des Raumvolumens zunimmt oder abnimmt. Ein positiver Wert bedeutet, dass die Expansion beschleunigt wird, und ein negativer Wert bedeutet, dass die Expansion verlangsamt wird. Wir müssen uns also nur die Vorzeichen der Parameter auf der rechten Seite ansehen, um zu sehen, welche Wirkung sie haben.

In dieser Form ist also sofort ersichtlich, dass eine positive kosmologische Konstante die Expansion antreibt, da sie auf der rechten Seite mit positivem Vorzeichen erscheint. Ebenso der Materieterm$\mu+3p/c^2$treibt die Kontraktion an, da es mit einem negativen Vorzeichen erscheint.

Dies setzt jedoch eine gewisse Verteilung der Materie voraus$\mu(\mathbf x)$. Sie geben ein Beispiel für zwei Teilchen auf einer hyperbolischen Umlaufbahn um einen Planeten, aber die Materiedichte ist außerhalb des Planeten null, also unter der Annahme, dass der CC ebenfalls vernachlässigbar ist, lautet die Gleichung:

das ist wahr, aber nicht sehr interessant. In diesem Fall sagt uns die Raychaudhuri-Gleichung nichts Nützliches.

${}^1$Ich habe online eine Kopie gefunden, aber dieser Link ist jetzt verschwunden. Ich fürchte, es sieht so aus, als müssten Sie für die Zeitung bezahlen.

In vielen Büchern wird behauptet, dass die Raychaudhuri-Gleichung eine Art "Beweis" dafür ist, dass die Schwerkraft in der allgemeinen Relativitätstheorie anziehend ist. T

Eine Gleichung beweist nicht wirklich etwas. Und da es „ wichtig als grundlegendes Lemma für die Penrose-Hawking-Singularitätstheoreme “ ist, würde ich sagen, dass Sie Recht haben, es in Frage zu stellen.

Dies geschieht, indem man ein Bündel von Geodäten betrachtet und unter bestimmten vernünftigen Bedingungen seine Ausdehnung beweist$\theta$hat eine negative Zeitableitung. Dies impliziert, dass ein Bündel von Geodäten dazu neigt, im Laufe der Zeit zu konvergieren, und daher würde dies bedeuten, dass die Krümmung der Raumzeit eine Anziehungskraft erzeugt.

Die Krümmung der Raumzeit ist mit der Gezeitenkraft verbunden, die sich auf die zweite Ableitung des Potentials bezieht. Nicht die Schwerkraft, die sich auf die erste Ableitung des Potentials bezieht - den Gradienten im Potential. Es gibt keine nachweisbare Gezeitenkraft in dem Raum, in dem Sie sich befinden, aber Ihr Bleistift fällt trotzdem herunter. Licht krümmt sich auch nach unten. Die Leute neigen dazu zu sagen "Licht folgt einer Geodäte", wobei eine Geodäte die kürzestmögliche Linie zwischen zwei Punkten auf einer gekrümmten Oberfläche ist. Aber dieses Licht folgt nicht der Krümmung der Raumzeit. Stellen Sie sich zur Analogie ein steifes Brett vor. Heben Sie dann eine Seite auf und rollen Sie eine Murmel darüber. Der Weg der Murmel krümmt sich, weil das Brett eine Steigung hat, nicht weil es gekrümmt ist. Natürlich braucht man in der Gummiblatt-Analogie eine gewisse Krümmungeinen Gradienten, aber es ist wichtig zu verstehen, dass sich Licht dort am stärksten krümmt, wo der Gradient des Gravitationspotentials größer ist, nicht dort, wo die Krümmung größer ist.

Allerdings habe ich ein Problem mit dieser Interpretation. Ein Bündel von Geodäten impliziert ein Bündel von Testteilchen: Objekte, deren Gravitationseinfluss vernachlässigt werden kann. Die Raumzeitkrümmung soll von einer anderen Materieverteilung stammen, nicht von unserer Geodäte. Wir scheinen zu beweisen, dass Testpartikel sich gegenseitig anziehen! Aber das ist nicht das, was die Schwerkraft tut: Testteilchen sollten von Materie angezogen werden, nicht voneinander. Verstehe ich die Interpretation der Raychaudhuri-Gleichung falsch?

Ich glaube schon. Es geht um die Gezeitenkraft, bei der aus dem Fußball ein Rugbyball wird . Oder ein amerikanischer "Fußball", wenn Sie es vorziehen.

Tatsächlich kann ich mir eine Situation vorstellen, in der die Schwerkraft eine abweichende Wirkung haben könnte (bitte lassen Sie mich wissen, ob dieser Teil eine separate Frage sein soll). Stellen Sie sich zwei benachbarte Testpartikel vor, die sich in die allgemeine Richtung eines Planeten bewegen, mit Aufprallparametern$b$und$b + \delta b$: Einer von ihnen wird näher am Planeten vorbeikommen als der andere. Dann wird das nähere Teilchen stärker abgelenkt als das weiter entfernte Teilchen, so dass ihre Bahnen auseinanderlaufen, wenn sie sich dem Planeten nähern. Widerspricht dies nicht der Raychaudhuri-Gleichung? Oder, wenn nicht, zeigt dieses Beispiel nicht, dass die Schwerkraft anziehend und doch divergierend wirken kann?

Die Gezeitenkraft ist ebenfalls ein "divergierender" Effekt. Wenn du in ein schwarzes Loch fällst, sagen die Leute, du wirst spaghettifiziert. Aber Sie werden nicht in der Breite spaghettifiziert. Stattdessen werden Sie in die Breite "fokussiert". Dies liegt jedoch nur daran, dass die nach unten gerichtete Schwerkraft an Ihren Füßen größer ist als die nach unten gerichtete Schwerkraft an Ihrem Kopf. Es liegt nicht daran, dass die Schwerkraft immer nach unten gerichtet ist, obwohl sie es ist. Es geht immer um die Konzentration von Energie, die den umgebenden Raum "konditioniert", weil diese Konditionierung dem Aufbau eines Energiedichtegradienten im Raum gleicht. Es ist nichtlinear, daher Raumzeitkrümmung. Siehe Einsteins Leyden Address von 1920 :"Nach dieser Theorie unterscheiden sich die metrischen Qualitäten des Raum-Zeit-Kontinuums in der Umgebung verschiedener Raum-Zeit-Punkte und sind teilweise durch die Materie bedingt, die außerhalb des betrachteten Gebiets existiert."