Riemann-Normalkoordinaten und Inertialsysteme in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass die Naturgesetze für unendlich kleine Bereiche von Raum und Zeit mit denen der speziellen Relativitätstheorie identisch sind. Dies spiegelt sich mathematisch in der Existenz von Riemann-Normalkoordinaten an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit wider. Geodäten sind erwartungsgemäß gerade Linien in diesen Koordinaten, da erwartet wird, dass sich Teilchen in der speziellen Relativitätstheorie in geraden Linien bewegen. Ich verstehe jedoch die Beziehung zwischen diesen Koordinaten und Trägheitsrahmen nicht vollständig.

Betrachten Sie den Fall eines Teilchens, das sich entlang einer Geodäte bewegt; wir können an jedem Punkt seiner Bahn Normalkoordinaten konstruieren. Je nachdem, wie ich meine Tetradenbasis definiere, sind die Koordinaten aller Punkte in der Nähe des Partikels jedoch unterschiedlich. Es scheint mir, dass es eine besondere Ausrichtung der Tetradenbasis gibt, die wir wählen können. Wir können den "Zeit"-Basisvektor als tangential zur Flugbahn des Teilchens und die anderen "Raum"-Vektoren als orthogonal zu diesem Vektor definieren. Wenn sich dann das Teilchen in einer infinitesimalen Zeit auf seinem Weg bewegt, ändert sich die Größe der "Raum"-Koordinaten nicht, wenn sich nur die "Zeit"-Koordinate ändert. Dies ist ein Inertialsystem, in dem Geodäten gerade Linien sind und sich das Teilchen nicht in seinem eigenen Referenzsystem bewegt (zumindest für eine infinitesimale Zeit, bevor wir zu einem anderen Satz normaler Koordinaten wechseln, die an einen anderen Punkt angepasst sind). Ist das das, was wir mit einem Inertialsystem meinen? Wenn ja, was ist die Interpretation der normalen Koordinaten, die so konstruiert werden können, dass die "Zeit" -Basis nicht tangential zur Flugbahn des Teilchens ist und sich alle Komponenten ändern, wenn sich das Teilchen bewegt?

Angenommen, ein Teilchen bewegt sich entlang einer Kurve in der Mannigfaltigkeit mit einer Beschleunigung ungleich Null vier. Zu jedem Zeitpunkt seiner Flugbahn lassen sich noch Normalkoordinaten am Ort des Teilchens konstruieren. Wenn wir dem gleichen Verfahren wie zuvor folgen und den "Zeit"-Vektor als Tangente zur Flugbahn des Teilchens an einem Punkt p definieren, scheint die Geodäte entlang dieser Tangente, die bei p beginnt, durch Koordinaten parametrisiert zu sein, die gegeben sind durch:$(t,0,0,0)$(wobei t der Parameter ist). Da sich das Partikel jedoch nicht entlang einer Geodäte bewegt, kann die Partikelposition nicht einfach durch parametrisiert werden$(t,0,0,0)$und es muss auch eine Positionsänderung geben. Das bedeutet, dass es keine Normalkoordinaten gibt, in denen ein beschleunigendes Teilchen Geodäten als Geraden sehen und gleichzeitig (in den Normalkoordinaten) „ruhen“ kann. Spiegelt dies die Tatsache wider, dass sich beschleunigende Beobachter nicht in Trägheitsreferenzrahmen befinden können? Kann in diesem Fall der von uns konstruierte Rahmen als ein sich mitbewegender Referenzrahmen betrachtet werden?

Ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Weg ist, um über normale Koordinaten nachzudenken, daher ist jede Hilfe willkommen.