Wie impliziert das Äquivalenzprinzip, dass Ableitungen der Metrik in einem frei fallenden Rahmen verschwinden?

Warum tun die ersten Ableitungen von G μ v in einem frei fallenden Koordinatensystem verschwinden?

Ich möchte vom Äquivalenzprinzip ausgehen, dass es für jeden Punkt in der Raumzeit eine lokale Trägheit gibtrahmenKartesisches Koordinatensystem. In diesen Koordinaten und in einer ausreichend kleinen Region um den Raumzeitpunkt stimmen die Gesetze der Physik mit der speziellen Relativitätstheorie überein und es gibt keine Gravitationskraft. Dies gilt für

Ich glaube, dass diese lokalen Trägheitskoordinaten diejenigen sind, die in einem "frei fallenden" Referenzrahmen verwendet würden. Ist das richtig? Das heißt, wenn Sie ein Physikexperiment in einem kleinen Aufzug im freien Fall durchführen, erhalten Sie (im Rahmen des Aufzugs) genau die Ergebnisse, die von der speziellen Relativitätstheorie und E & M ohne Gravitation vorhergesagt wurden. Und die natürlichen kartesischen Koordinaten, die Sie im Aufzug einrichten würden, wären die oben erwähnten lokalen Trägheitskoordinaten (vielleicht modulo ein Boost und eine räumliche Rotation).

In diesem Bild die Metrik an einem Raumzeitpunkt X P μ wird durch die Koordinatentransformation zwischen diesen lokalen Trägheitskoordinaten definiert ξ P μ und die "Labor"-Koordinaten X μ :

G μ v ( X P ) ≡ η a β ∂ ξ P a ( X P ) ∂ X μ ∂ ξ P β ( X P ) ∂ X v ,
Wo η a β = D ich A G ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) .

So wie ich das interpretiere, ist die Metrik nur ein Objekt, mit dem Sie das spezielle relativistische Invariantenintervall berechnen können D S 2 zwischen zwei Ereignissen, die Sie im frei fallenden Rahmen finden würden.

Insbesondere wenn wir uns im frei fallenden Aufzug befinden (also die Koordinaten X μ sind die ξ P μ ) dann ist die Metrik η μ v wie wir erwarten, da die spezielle Relativitätstheorie im Freifallsystem gilt. Aber anscheinend ist die Ableitung der Metrik in diesem System auch Null. Warum?

Weinbergs Buch „Gravitation and Cosmology“ sagt, dass Nicht-Null-Ableitungen der Metrik sich in einem lokalen Experiment manifestieren würden, das feststellen würde, dass die Raten verschiedener Uhren unterschiedlich wären (was die spezielle Relativitätstheorie verletzt). Aber er erklärt nicht genau, wie dieses Argument funktioniert.

Wenn die Ableitungen der Metrik in einem frei fallenden Rahmen nicht lokal verschwinden würden, würden die Christofel-Symbole nicht verschwinden, was Sie als Netto-(Trägheits-)Kraft auf den Rahmen erfahren würden.
Nach meinem Verständnis wären die "Christoffel-Symbole", die Sie definieren würden, um diese Nettokräfte zu berechnen Γ a β μ ≡ ( ∂ 2 ξ v / ∂ X a ∂ X β ) ( ∂ X μ / ∂ ξ v ) , nicht die üblichen Christoffel-Symbole, die die metrischen Ableitungen verwenden. Die Äquivalenz der beiden Definitionen für die Christoffel-Symbole nutzt die Tatsache, dass die Metrik meines Erachtens keine Ableitungen in einem lokalen Trägheitsrahmen hat.
@Alex Ja, toller Punkt. Weinberg macht dies tatsächlich zweimal deutlich (na ja, einmal überdeutlich (S. 101) und das andere Mal subtil klar (S. 74)). Die Tatsache, die ohne Verwendung des Verschwindens der ersten Ableitungen wahr ist, ist, dass die Differenz zwischen den affinen Verbindungen und den Christoffel-Symbolen ein Tensor ist. Dass dieser Tensor verschwindet, kann nur durch das Verschwinden der ersten Ableitungen bewiesen werden.
Auf P. 101 Weinberg sagt, dass die ersten Ableitungen des metrischen Tensors in Trägheitskoordinaten verschwinden müssen, weil „es zwischen infinitesimal getrennten Punkten keine gravitative Rotverschiebung geben kann“. Ich denke, das ist die Aussage, die ich genauer verstehen möchte.

Antworten (1)

Wie impliziert das Äquivalenzprinzip, dass Ableitungen der Metrik in einem frei fallenden Rahmen verschwinden?

Was Sie behaupten, ist nicht wahr. Die Metrik kann je nach Koordinatensystem alle möglichen Formen annehmen. Wenn Sie beispielsweise Polarkoordinaten verwenden, variieren die Komponenten der Metrik und die Christoffel-Symbole sind ungleich Null.

Außerdem entsprechen Koordinatensysteme keinen Referenzrahmen. Siehe Wie funktionieren Referenzrahmen in der Allgemeinen Relativitätstheorie und werden sie durch Koordinatensysteme beschrieben?

Insbesondere wenn wir uns im frei fallenden Koordinatensystem befinden (also die Koordinaten X μ sind die ξ P μ ) dann ist die Metrik η μ v wie wir erwarten, da die spezielle Relativitätstheorie im Freifallsystem gilt.

Nicht wahr. Die Metrik kann in SR je nach Koordinatensystem verschiedene Formen haben, und die Angabe, dass Sie einen frei fallenden Rahmen verwenden möchten, impliziert kein bestimmtes Koordinatensystem.

Ich glaube, dass dieses lokal inertiale System dasselbe ist wie ein "frei fallendes" Referenzsystem. Ist das richtig? Das heißt, wenn Sie ein Physikexperiment in einem kleinen Aufzug im freien Fall durchführen, erhalten Sie (im Rahmen des Aufzugs) genau die Ergebnisse, die von der speziellen Relativitätstheorie und E & M ohne Gravitation vorhergesagt wurden.

Ja, obwohl es nicht viel Sinn macht, "lokales Inertialsystem" zu sagen, da Referenzsysteme in GR immer lokal sind.

Wir könnten versuchen, Ihre Aussage so zu ändern, dass sie wahr wird. Wenn wir das tun wollten, müssten wir uns zunächst entscheiden, ob Sie die Diskussion auf die flache Raumzeit beschränken wollen. Davon sagst du in der Frage nie etwas.

Danke Ben. Ich habe die Frage bearbeitet, um genauer zu sein. Insbesondere die lokalen Trägheitskoordinaten, von denen ich spreche, sollten immer kartesisch sein. Und die Frage betrifft ein willkürliches Gravitationsfeld, nicht unbedingt eine flache Raumzeit.
Wie impliziert das Äquivalenzprinzip, dass Ableitungen der Metrik in einem frei fallenden Rahmen verschwinden?
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