Wie funktionieren Bezugssysteme in der Allgemeinen Relativitätstheorie und werden sie durch Koordinatensysteme beschrieben?

Die Allgemeine Relativitätstheorie hat nur lokale Bezugssysteme, keine globalen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind Koordinatensysteme völlig willkürlich, und wir können normalerweise kein Koordinatensystem nehmen und es auf sinnvolle Weise mit dem Bezugsrahmen eines Beobachters in Beziehung setzen.

In der Newtonschen Schwerkraft gibt es eine implizite Annahme, dass ein Beobachter über den aktuellen Zustand aller Materie im Universum Bescheid wissen kann und weiß. Ohne diese Informationen gäbe es keine Möglichkeit, die Newtonschen Gesetze anzuwenden, da die Schwerkraft eine langreichweitige Kraft ist, die sofort in einer Entfernung wirkt, und es auch keine Möglichkeit gäbe, zu bestimmen, was ein Trägheitsbezugssystem ist. Traditionell wurde das System der "Fixsterne" als ein ausreichend gutes Trägheitsbezugssystem für alle praktischen Zwecke angesehen, und es wurde implizit angenommen, dass wir die Sterne augenblicklich beobachten können, wobei jede mögliche Verzögerung aufgrund der Lichtzeit vernachlässigt wird zu propagieren. Andere Bezugsrahmen in gleichförmiger Bewegung relativ zu diesem Rahmen waren ebenfalls gültig. Jeder dieser Bezugsrahmen wurde durch ein bestimmtes Koordinatensystem beschrieben,

In der speziellen Relativitätstheorie wird es schwieriger. Wir können nicht sofort den gesamten Weltraum beobachten, aber wir müssen das auch nicht, denn um Vorhersagen über unsere eigene Nachbarschaft zu machen, müssen wir nur die Bedingungen innerhalb unseres eigenen vergangenen Lichtkegels kennen, dh bei Ereignissen, die sind nah genug im Raum und weit genug in der Zeit zurück, damit die Signale Zeit hatten, von ihnen zu uns zu gelangen. Der Einfachheit halber erweitern wir diese Beschreibung normalerweise immer noch auf die gesamte Raumzeit, was eine Art ausgeklügeltes Vermessungssystem impliziert, dessen Ergebnisse uns erst viel später bekannt werden. Beispielsweise müssen die Vermessungsingenieure möglicherweise Uhren an verschiedenen Positionen aufstellen und die Uhren durch den Austausch von Funksignalen synchronisieren. Zeit ist relativ, aber für einen Beobachter in einem bestimmten Bewegungszustand können wir einen Begriff der Gleichzeitigkeit definieren.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie geht all dies im Grunde aus dem Fenster. Koordinatensysteme sind möglicherweise nicht in der Lage, die gesamte Raumzeit abzudecken, aus dem gleichen Grund, aus dem wir kein Koordinatensystem auf der Erdoberfläche platzieren können, ohne dass es sich an bestimmten Orten wie den Polen falsch verhält. Selbst für Raumzeiten, wie z. B. kosmologische FLRW-Raumzeiten, für die es möglich ist, ein solches globales Koordinatensystem zu haben, können diese Koordinaten nicht mit Beobachtern oder Bezugsrahmen identifiziert werden. Bezugssysteme existieren nur lokal, dh auf Skalen, die klein sind im Vergleich zu den Skalen, die durch die Krümmung der Raumzeit vorgegeben sind. Wenn wir diskutieren, was ein Beobachter in der Allgemeinen Relativitätstheorie „sieht“, meinen wir genau das: die optischen Signale, die er empfängt.

Beispiel: Ein Beobachter außerhalb eines Schwarzen Lochs wird nie einfallendes Gestein durch den Ereignishorizont ziehen sehen. Dies ist trivialerweise richtig, weil der Ereignishorizont als die Grenze des Bereichs definiert ist, der von außen nicht beobachtbar ist. Dies bedeutet nicht, dass der Bezugsrahmen des Beobachters einem Satz von Koordinaten entspricht oder dass das, was der Beobachter sieht, durch solche Koordinaten erklärt werden kann. Was der Betrachter sieht, erklärt sich einfach aus den Bahnen der Lichtstrahlen, die vom Felsen zum Auge des Betrachters gelangen.

Beispiel: Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt uns nicht, ob sich entfernte Galaxien „wirklich“ von uns entfernen oder ob sie „wirklich“ ruhen, während sich der Raum dazwischen füllt. Wir haben nur ein lokales Koordinatensystem, kein globales, das es uns erlauben würde, Geschwindigkeitsvektoren für entfernte Objekte zu definieren und zu messen. Wir können Dinge wie Koordinatengeschwindigkeiten definieren, aber sie sind nicht besonders aussagekräftig, weil Koordinaten willkürlich sind.

Beispiel: Gegeben sei eine flache Raumzeit mit Minkowski-Koordinaten$(t,x)$, können wir neue Koordinaten definieren$(t,u)$, Wo$u=ax+(1/4)\sin ax$Und$a$ist eine Konstante. An diesen Koordinaten ist nichts auszusetzen, da die Transformation eins zu eins und glatt ist, aber diese Koordinaten entsprechen eindeutig nicht dem Bezugsrahmen eines Beobachters.

Die Leute sind wegen dieser Art von Dingen oft verwirrt wegen historischer Behandlungen der Allgemeinen Relativitätstheorie, einschließlich Einsteins eigener Popularisierungen. Einsteins ursprüngliche Inspiration für die allgemeine Relativitätstheorie hatte mit einer Reihe von Konzepten zu tun, darunter das Machsche Prinzip und die Vorstellung, den Satz zulässiger Bezugsrahmen zu erweitern, um beschleunigte einzuschließen. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist jetzt über ein Jahrhundert alt, und viele von Einsteins ursprünglichen vagen Inspirationen haben sich nicht als die beste Art erwiesen, über diese Dinge nachzudenken.

$\let\lam=\lambda \let\th=\theta \def\ns#1#2{#1_{\rm#2}} \def\le{\ns\lam e} \def\lr{\ns\lam r} \def\te{\ns te} \def\tr{\ns tr}$Ich fand Ben Crowells Selbstantwort sehr klar und sehr nützlich für viele Leute, die verwirrte Ansichten zu diesem Thema haben. Allerdings gibt es einige Punkte, denen ich nicht ganz zustimme. Ich beschränke die vorliegende Antwort auf nur einen Punkt, den meiner Meinung nach relevantesten.

@BenCrowell schreibt:

Die Allgemeine Relativitätstheorie sagt uns nicht, ob sich entfernte Galaxien „wirklich“ von uns entfernen oder ob sie „wirklich“ ruhen, während sich der Raum dazwischen füllt.

Ich denke, das ist nicht genau. Fassen wir die Sache kurz zusammen. Die akzeptierte Struktur der Raumzeit auf kosmologischer Ebene wird durch eine Robertson-Walker-Geometrie beschrieben. Ich lasse die anderen beiden Gründer, Friedmann und Lemaitre, außen vor, da es mir nur um die geometrische Struktur geht, ohne Rücksicht auf deren Ursachen: keine Hypothesen zu Materiequalität und -verteilung, keine Einstein-Gleichungen. Ich brauche nur das kosmologische Prinzip, also die Annahme, dass der Raum (nicht die Raumzeit!) homogen und isotrop ist. Dies impliziert – wie ich bereits sagte – dass die Raumzeit eine RW-Geometrie hat.

Für die RW-Geometrie werden mehrere Koordinatensysteme verwendet. Ich wähle folgendes:

Betrachtet man Metrik (1) zeigt sich ein Punkt über die Wahl der Koordinaten. Es ist vollkommen richtig, dass Koordinaten in GR völlig willkürlich sind und keine physikalische Interpretation haben müssen. Ungeachtet dessen kann in mehreren Fällen eine wohlüberlegte Wahl von Koordinaten wichtige Merkmale einer Geometrie offenbaren. In unserem Fall können wir deutlich erkennen, dass die Zeitkoordinate ( kosmische Zeit genannt ) so gewählt wurde, dass gleichzeitige Abschnitte (was wir zusammenfassend als Raum bezeichnen können ) mit einer reichen Symmetrie ausgestattet sind – dem mathematischen Gegenstück zur Homogenität und Isotropie Requisiten.

Homogenität spiegelt sich in einem Raum wider, der eine konstante Krümmung hat (nicht zu verwechseln mit der Raumzeitkrümmung). In Bezug auf diesen Punkt kann es drei Arten von RW-Geometrie geben:

• positive Krümmung, Raum ist eine Hypersphäre
• Nullkrümmung - ein flacher, euklidischer Raum
• negative Krümmung, dh hyperbolische Geometrie

In Gl. (1) Die drei Arten sind nicht offensichtlich, da ihr Unterschied im Winkelteil der Metrik liegt. Es ist bekannt, dass derzeit das akzeptierte Modell ein flacher Raum ist, aber die Modellwahl ist für meine Argumentation nicht relevant.

Der Koeffizient$a(t)$dessen Quadrat den Raumanteil der Metrik in Gl. (1) wird Skalierungsfaktor genannt . Sein Wert ist ein Maß dafür, wie die Raumkrümmung von der Zeit und dem genauen Ausdruck der Funktion abhängt$a(t)$kann nur durch kosmologische Dynamik abgeleitet werden , dh Einstein-Gleichungen zusammen mit Hypothesen über die Art der im Universum vorhandenen Materie. Darauf gehe ich nicht ein. Ich nehme an$a(t)$bekannt ist, und ich werde einige Konsequenzen darlegen, wenn es keine Konstante ist. Der Skalierungsfaktor wird derzeit üblicherweise mit 1 angenommen.

Es kann gezeigt werden, dass Linien mit$r$,$\th$,$\phi$konstant sind Geodäten der Raumzeit. Dann kann ein freies Objekt (eine Galaxie) in diesen ( mitbewegten ) Koordinaten bleiben. Wenn$r$-Ursprung ist in unserer Position, dann ist die Entfernung dieses Objekts von uns$a(t)\,r$. Eine Variation von$a$mit der Zeit bringt eine proportionale Variation der Entfernung dieser Galaxie mit sich.

Erreicht uns derzeit Licht von einem weit entfernten Objekt, beobachten wir eine kosmologische Rotverschiebung : empfangene Wellenlänge$\lr$größer ist als die emittierte Wellenlänge$\le$und ein einfaches Gesetz gilt:

Es scheint meiner Meinung nach klar zu sein, dass in dieser Umgebung die natürlichste Interpretation darin besteht, dass sich der Raum ausdehnt (Skalierungsfaktor$a(t)$nimmt zu), während Galaxien eine feste Position in sich bewegenden Koordinaten einnehmen. Um die alternative Sichtweise - der Raum expandiert nicht, Galaxien bewegen sich darin - zu akzeptieren, wäre es notwendig, ein geeignetes Koordinatensystem aufzuweisen, in dem die Metrik statisch ist (metrische Koeffizienten unabhängig von der Zeit) und die Koordinaten aller Galaxien von der Zeit abhängen. Ich kenne kein solches System und vermute, dass es nicht existiert. Ich warte darauf, dass mir das Gegenteil bewiesen wird.