Was bedeutet ein Bezugsrahmen in Bezug auf Mannigfaltigkeiten?

Bemerkungen:

1. In der folgenden Erklärung 4-dimensionale Raumzeiten$M$ausgestattet mit einer Signaturmetrik (3,1) betrachtet.

2. Es gibt mehrere Wikipedia-Seiten, die Frames (manchmal Tetraden oder Vielbeins genannt) in GR behandeln. Siehe zum Beispiel hier , hier und hier

3. Es gibt ein sehr gutes Einführungskapitel zu diesem Thema in Kapitel 5 dieser Notizen von: R. Aldrovandi und JG Pereira.

Ein Rahmen in GR bedeutet einen Satz von vier Vektorfeldern$\mathbf{e}_a: M \rightarrow TM$,$a=0, 1,2,3$Erfüllung der Nebenbedingungsgleichung:

$\mathbf{g} = \eta^{ab} \mathbf{e}_a \mathbf{e}_b$,

wo$\mathbf{g}$ist der inverse metrische Tensor und$\eta^{ab}$ist die flache Lorentzsche Metrik.

Diese Vektorfelder können als die Abbildung der Koordinatenvektoren eines bestimmten Mikowski-Raums durch das lokale Koordinatensystem auf den Tangentialraum betrachtet werden. Physikalisch assoziieren wir jeden solchen Rahmen mit einem lokalen Beobachter.

Nun können wir grundsätzlich mit den Komponenten der Frame-Vektorfelder statt der Metrik arbeiten, aber man stellt fest, dass die Frame-Felder 16 Komponenten haben, während die Metrik (aufgrund ihrer Symmetrie) nur 10 Komponenten hat. Diese Redundanz ergibt sich aus der Tatsache, dass die Rahmenfelder nicht eindeutig sind, und aus einem neuen Satz von Rahmenfeldern$\mathbf{e}^{\prime}_a$befriedigend

$\mathbf{e}^{\prime}_a = M_a^b(x) \mathbf{e}_b$

erfüllt die gleiche Einschränkung, wo$M_a^b(x)$ist eine Lorentz-Transformationsmatrix (dh befriedigend$M_a^b(x) M_c^d(x) \eta_{bd} = \eta_{ab}$)

Bitte beachten Sie, dass wir je nach Ort auf der Mannigfaltigkeit eine nicht konstante Lorentz-Transformation wählen können, aus diesem Grund werden diese Transformationen als lokale Lorentz-Transformationen bezeichnet.

Jetzt prüft die Dimensionszählung: 16 Rahmenkomponenten = 10 metrische Komponenten + 6 Lorentz-Transformationen an jedem Punkt.

Dieser Formalismus scheint nur eine Änderung von Variablen zu sein, aber das ist nicht die ganze Geschichte.

Erstens können die lokalen Lorentz-Transformationen als Abschnitte eines Prinzipals angesehen werden$SO(3,1)$bündeln$M$(Dieses Bündel heißt$SO(M, \mathbf{g})$. Somit ist diese Formulierung eine Formulierung von GR als Eichtheorie. Da wir nun zulassen können, dass die lokalen Lorentz-Transformationen von den Koordinaten abhängen, erlaubt dieser Formalismus, beschleunigende Rahmen zu definieren, indem man einfach die lokalen Lorentz-Transformationen als zeitabhängig annimmt.

Zweitens können in der Standardformulierung von GR klassische Körper als Abschnitte von Bündeln definiert werden, deren lokale Transformationen Funktionen der Koordinatentransformation (Diffeomorphismen) der Basismannigfaltigkeit sind. Diese Bündel werden natürliche Bündel genannt, zum Beispiel ist die Koordinatentransformation des Tangentialbündels die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformationen der Basismannigfaltigkeit. (Ähnlich die inverse Jacobi-Matrix für das Kotangensbündel). Die Standardformulierung von GR erlaubt also die Definition von Vektorfeldern, Tensorfeldern usw., aber nicht von Spinorfeldern, die in der Physik sehr wichtig sind. Spinorbündel sind nicht natürlich, aber es gibt keinen natürlichen Weg, eine allgemeine Koordinatentransformation eines Spinorfelds zu definieren, wenn ein Diffeomorphismus der Basismannigfaltigkeit gegeben ist.

Wenn jedoch der Basiskrümmer$M$eine Spin-Struktur hat, dann erlaubt der Frame-Formalismus, Spinor-Felder wie folgt zu definieren: Da$M$ist Spin,$SO(M, \mathbf{g})$kann zu einem Spinnbündel gehoben werden$Spin(M, \mathbf{g})$, dann ist ein Spinor-Bündel das zugehörige Bündel, das einer fundamentalen Spinor-Darstellung entspricht, und Spinor-Felder sind Abschnitte des Spinor-Bündels.

Diese Konstruktion kann in lokalen Koordinaten wie folgt durchgeführt werden:

Zuerst können wir den dualen Rahmen bilden$\mathbf{e}^a: M \rightarrow T^{*}M$indem Sie verlangen:

$\langle \mathbf{e}^a, \mathbf{e}_b \rangle = \delta^a_b$

Der Doppelrahmen kann verwendet werden, um die Rahmenkomponenten eines beliebigen Vektorfelds zu definieren$\mathbf{V}$:

$V^a = \langle \mathbf{e}^a, \mathbf{V} \rangle$

Umgekehrt kann man die "gekrümmten" Komponenten eines Vektors aus dem Originalrahmen bilden. Betrachten Sie zum Beispiel die Dirac-Matrizen$\{\gamma^a\}$Erzeugen der Clifford-Algebra$Cl(3,1)$. Dann sind ihre gekrümmten Komponenten gegeben durch:

$\gamma^{\mu} = \gamma^a e_a^{\mu}$

Allgemeiner verwendet man die Metrik$\mathbf{g}$um "gekrümmte Indizes" zu senken, die umgekehrte Metrik, um "gekrümmte Indizes" zu erhöhen. und ähnlich die Lorentz-Metrik$\mathbf{\eta}$für die flachen Indizes. Man verwendet die Rahmenvektoren und ihr Dual, um gekrümmte Indizes durch flache Indizes zu ersetzen und umgekehrt.

Als nächstes die Spin-Verbindung

ist definiert als:

$\omega_{\mu}^{ab} = e^a_{\nu}(\partial_{\mu} e^{\nu b}+ e^{\sigma b}\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu})$

wo,$\Gamma^{\nu}_{\sigma \nu}$ist die Levi-Civita-Verbindung.

Es ist nicht schwer, dies zu überprüfen (indem man sich die lokalen Lorentz-Transformationen ansieht).$\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$ist eine Verbindung an$Spin(M, \mathbf{g})$, wo$\sigma_{ab}$sind die Erzeuger der fundamentalen Spinordarstellung.

1. Unter Verwendung der obigen Daten wird die vollständig kovariante Dirac-Gleichung auf$M$nimmt die Form an:

$-i \gamma^{\mu} D_{\mu} \psi + m \psi = 0$,

wo$D_{\mu}$ist die der Spinverbindung zugeordnete kovariante Ableitung

$D_{\mu} = \partial_{\mu}-i\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}$

Somit sieht die vollständig kovariante Dirac-Gleichung genauso aus wie die Dirac-Gleichung, die an ein Eichfeld gekoppelt ist, das durch die Spinverbindung gegeben ist.

Klassische Bereiche, in denen diese Konstruktion möglich ist, sind Abschnitte von Bündeln, die als "Gauge Natural Bundles" bezeichnet werden.

Es ist wichtig zu erwähnen, dass die Lösung der vollständig kovarianten Dirac-Gleichung von den Rahmenfeldern abhängt, aber beobachtbare Größen wie beispielsweise die Anzahl der gebundenen Zustände nur von der Metrik abhängen.

Aktualisieren:

Da lokale Beobachter mit Punkten auf den Fasern des Rahmenbündels identifiziert werden, sind alle Rahmen inertial, da sie aus der Wirkung einer Lorentz-Transformation auf einen einzelnen Rahmen (dh Punkt auf der Faser) erhalten werden können. Die Parameter der Lorentz-Transformation sind der Geschwindigkeitsvektor und die Orientierung des Rahmens. In den Gleichungen ist explizit, dass wir variable Lorentz-Transformationen zulassen können, dh Lorentz-Transformationen abhängig von den lokalen Koordinaten der Basismannigfaltigkeit, insbesondere von der Zeitkoordinate. Jetzt teile ich meine Antwort in zwei Teile:

Teilchen: Angenommen, der vierfache Geschwindigkeitsvektor eines Teilchens, das sich auf einer Geodäte bewegt, ist gegeben durch$V^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$, ($\tau$ein beliebiger Parameter entlang des Pfades ist), dann sind die Rahmenkoordinaten dieses Vektors:$V^a = e^a_{\mu} V^{\mu}$und die Komponenten der Geschwindigkeit, die von einem Beobachter gemessen werden, der sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, die durch die Lorenntz-Matrix definiert ist$M(x)$sind$V^{\prime b} = M^b_a(x) V^a$. Wieder eine Variable$M$zeigt einen beschleunigten Rahmen an.

Felder: Die Bewegungsgleichungen werden bzgl. dieser Transformationen kovariant sein, weil für Schnitte natürlicher Bündel die Rahmenvektoren nicht in den Bewegungsgleichungen auftauchen, während bei Eich-Naturschnitten wie Spinoren diese (Variable Lorentz) Transformationen erscheinen als Eichtransformationen und die Bewegungsgleichungen werden so konstruiert, dass sie eichinvariant sind. Somit werden die Bewegungsgleichungen nicht durch lokale Lorentz-Transformationen beeinflusst, oder mit anderen Worten, die Physik sieht für alle Beobachter gleich aus, selbst wenn sie beschleunigen.

David Bar Moshe hat auf hohem Niveau sowohl in Mathematik als auch in Physik eine sehr vollständige Antwort gegeben. Wenn das genau den Bedürfnissen des OP und anderer entspricht, die diese Seite lesen, ist das großartig. Ich möchte nur versuchen, die Frage des OP in einfacherer Sprache zu beantworten.

GR hat keine globalen Bezugsrahmen wie SR. (Wenn David Bar Moshe sagt: "Ein Rahmen in GR bedeutet ...", definiert er keinen globalen Bezugsrahmen, sondern eine Sammlung lokaler Bezugsrahmen, die jeweils an einem anderen Punkt definiert sind.) Als konkret Beispielsweise erwarten wir in SR, dass wir sagen können, dass im Bezugsrahmen von Objekt A das entfernte Objekt B eine wohldefinierte Geschwindigkeit hat. In GR können wir das nicht tun. Wenn zum Beispiel A unsere Galaxie ist und B eine kosmologisch entfernte Galaxie, dann gibt es keine eindeutig gut definierte Methode, um die Geschwindigkeit von B im Koordinatensystem von A zu definieren. Wir können sagen, dass sich B relativ zu A bewegt, oder wir können sagen, dass sowohl A als auch B in Ruhe sind und der Raum zwischen ihnen sich ausdehnt. GR sagt nicht, dass eine dieser verbalen Beschreibungen der anderen vorzuziehen ist.

Das OP fragt nach Diagrammen und Atlanten und wie sie sich auf Änderungen des Bezugsrahmens beziehen. Sie tun es nicht. Alle interessanten Themen können diskutiert werden, ohne sich jemals mit einer Mannigfaltigkeit befassen zu müssen, die mehr als ein Diagramm erfordert. In kosmologischen Modellen von FRW können Sie beispielsweise die gesamte Raumzeit mit einem einzigen Diagramm mit Koordinaten abdecken$(t,x,y,z)$, und Sie würden dies normalerweise so tun, dass eine relativ zum Hubble-Fluss ruhende Galaxie konstante x, y und z hat. Ein Beispiel für eine Änderung der Koordinaten wäre$t\rightarrow 2t$. In dieser Raumzeit gibt es keine Vorstellung von einem globalen Bezugsrahmen, und es gibt nichts, was die Rolle eines Lorentz-Boosts spielt, wie es in SR der Fall wäre. Wenn Sie versuchen, die üblichen Lorentz-Transformationsgleichungen anzuwenden$(t,x,y,z)$, erhalten Sie eine Reihe von Koordinaten$(t',x',y',z')$die vollkommen gültig, aber physikalisch völlig uninteressant sind, und Sie können die neuen nicht als einen Rahmen interpretieren, der sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit relativ zu einem Rahmen bewegt, der durch die alten definiert ist.

In Bezug auf die Frage des OP zum Beschleunigen im Vergleich zum Nichtbeschleunigen ist GR diesbezüglich relativ agnostisch. Wir müssen jedoch Frames von Koordinaten unterscheiden. Jeder gleitende Koordinatenwechsel (Diffeomorphie) ist erlaubt und hat keine Auswirkung auf die Form der physikalischen Gesetze (Einstein-Feldgleichungen). Zum Beispiel können Sie flache Raumzeit in Beschleunigungskoordinaten beschreiben, wo sie ein Gravitationsfeld zu haben scheint: http://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates In Bezug auf Rahmen haben wir bevorzugte Rahmen in GR, nämlich die Rahmen von Beobachtern, die im freien Fall sind. In GR wird der Rahmen eines auf dem Boden sitzenden Felsens als nicht träge betrachtet, und der Rahmen eines fallenden Felsens wird als träge betrachtet; es ist genau das Gegenteil von dem, was wir in der Newtonschen Physik sagen würden.

Ich möchte mein persönliches Verständnis des Konzepts des Referenzrahmens hinzufügen.

In den Artikeln:

• Marmo, G., Preziosi, B. (2006). Die Struktur der Raumzeit: Relativitätsgruppen. Internationale Zeitschrift für geometrische Methoden in der modernen Physik, 03 (03), 591-603.
• Marmo, G., Preziosi, B. (2005) Objektive Existenz und Relativitätsgruppen. Symmetrien in der Wissenschaft XI, 445-458.

Es wird ein Ansatz für Referenzrahmen vorgestellt, den ich physikalisch nützlich fand.

Im Wesentlichen ein Referenzrahmen$\mathcal{R}$ist als (1,1)-Tensor auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit definiert$\mathcal{M}$so dass:

• es ist von Rang eins, dh es ist zerlegbar als$\mathcal{R}=\theta\otimes T$, wo$\theta\in\Lambda^{1}(\mathcal{M})$und$T\in\mathfrak{X}(\mathcal{M})$;

• es ist so$\theta(T)=1$.

In einer allgemeinen relativistischen Umgebung können wir wählen$T$zeitgemäß sein und$\theta$seine duale Form sein. Dies kommt dem Ansatz mittels Triade nahe genug.

Die Integralkurven von$T$definiert die Weltlinien verschiedener Beobachter in$\mathcal{R}$.

Wichtig zu beachten ist, dass das Tangentenbündel$T\mathcal{M}$von$\mathcal{M}$wird aufgeteilt als:

wo die Zeitverteilung ist$\mathcal{R}^{t}=span(T)$und die Raumverteilung ist$\mathcal{R}^{s}=Ker(\theta)$.

Dies ist im Allgemeinen nur eine lokale Aufteilung, was die Tatsache widerspiegelt, dass es im Allgemeinen keine globalen Referenzrahmen gibt.

Wenn wir haben$\theta\wedge d\theta=0$dann$\theta$führt zu einer integrierbaren Schieferung (mittels Satz von Frobenius), und die Blätter dieser Schieferung sind die lokalen Ruheräume des Bezugssystems.

Wenn außerdem$\theta=df$dann ist der Referenzrahmen synchronisierbar. Das bedeutet, dass es eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Blättern der räumlichen Schieferung (lokale Ruheräume) und den Evolutionsparametern der Integralkurven von gibt$T$, also haben unterschiedliche Beobachter in diesem Bezugsrahmen einen gemeinsamen Zeitbegriff.

Durch die Wahl unterschiedlicher Vektorfelder kann man von beschleunigtem oder inertialem Bezugssystem sprechen$T$.

Zum Beispiel in der Minkowski-Raumzeit das (globale) Referenzsystem:

Geodätische Referenzrahmen haben keine Beschleunigung im Sinne des Vektorfeldes$T$, geodätisch, ist so, dass$a_{T}=\nabla_{T}T=0$, wo$a_{T}$ist das Beschleunigungsvektorfeld. Dies bedeutet nicht, dass in einer nicht flachen Raumzeit ein geodätischer Referenzrahmen inertial ist, sondern wenn die metrische Verbindung nicht flach ist, dann die integralen Kurven des geodätischen Vektorfelds$T$sind nicht$\frac{d^{2}\gamma^{\mu}(\tau)}{d\tau^{2}}=0$, sind also keine Geraden.

Ich weiß, dass diese Antwort nicht so klar und tiefgreifend ist wie die anderen, dennoch denke ich, dass dieser Ansatz in Bezug auf Referenzrahmen nützlich sein kann, weil er in Kontexten verwendet werden kann, die sich vom allgemeinen relativistischen unterscheiden, während der Triadenformalismus natürlich an allgemein gebunden ist Relativität.

Zu diesem Zweck gibt es eine andere Herangehensweise an Referenzrahmen als Quasi-Produktstrukturen, dh ausgehend von der Aufspaltung$T\mathcal{M}=\mathcal{R}^{t}\oplus\mathcal{R}^{s}$ohne Verwendung des Tensorfeldes$\mathcal{R}$, allerdings erinnere ich mich nicht an die Referenzen dazu (vielleicht war es etwas von DH Delpenich).

Abschließend möchte ich eine einfache Anwendung des Konzepts des Bezugsrahmens in der Elektrodynamik hinzufügen, die ich sehr interessant finde.

In der klassischen Theorie des Elektromagnetismus zur Minkowski-Raumzeit$\mathcal{M}$das elektromagnetische Feld$F$wird als Krümmung gesehen$2$-Form des Rückzugs von a$U(1)$- Hauptverbindung an$\mathcal{M}$, dann ist leicht ersichtlich, dass die Wahl des Bezugsrahmens$\mathcal{R}=dx^{0}\otimes\partial_{x^{0}}$ermöglicht die Definition einer differentiellen Einsform (elektrisches Feld):

Ich glaube, die äquivalente mathematische Terminologie zu einem Trägheitsrahmen ist an diesem Punkt "normale Koordinaten".$p$. Das heißt, in Ihren Koordinaten die Metrik bei$p$ist nur die flache Minkowski-Metrik und alle ersten Ableitungen der Metrik verschwinden bei$p$. Umgekehrt wäre ein beschleunigter Rahmen alle Koordinaten, die nicht normal sind.

Es ist wahrscheinlich eine Betrachtung einer Abbildung zum Bezugssystem eines beschleunigten Beobachters, die z. B. in Kap. 13.6 von Misner, Thorne, Wheeler, „Gravitation“. Vielleicht ist es einfach, mit der Betrachtung des Koordinatensystems zu beginnen, das der Bewegung mit konstanter Beschleunigung in ch entspricht. 26 von Pauli „Relativitätstheorie“ über hyperbolische Bewegung.