Über lokales Inertialsystem und Beschleunigung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Angenommen, wir wählen einige Koordinaten. Dies können beliebige Koordinaten sein, die praktisch sind, wie Schwartzschild, Gullstrand-Painleve, Kruskal-Szekeres oder was auch immer. Wenn wir Ihre Position in diesen Koordinaten angeben$(x^0, x^1, x^2, x^3)$dann können wir zweimal differenzieren, um Ihre Beschleunigung in diesen Koordinaten zu erhalten:

Dies wird als Koordinatenbeschleunigung bezeichnet und ist im Grunde dasselbe wie die Beschleunigung, die wir von der Newtonschen Mechanik gewohnt sind, außer dass wir nach der Eigenzeit und nicht nach der Koordinatenzeit differenzieren und die Zeitkoordinate einbeziehen, dh wir einbeziehen$d^2t/d\tau^2$.

Wir können auch einen Ausdruck für die Krümmung der Raumzeit in unseren gewählten Koordinaten aufschreiben und insbesondere die Christoffel-Symbole berechnen:

Dann ist die vierfache Beschleunigung die Summe der beiden Terme:

Wo$\mathbf U$ist die vier Geschwindigkeiten, ausgedrückt in unserem gewählten Koordinatensystem. Der Punkt dabei ist, dass für einen frei fallenden Beobachter, dh in einem Trägheitssystem, die vier Beschleunigungen Null sind, und wenn wir dies in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir die geodätische Gleichung:

Und die Flugbahn Ihres freien Falls in meinen gewählten Koordinaten ist nur die Lösung dieser Gleichung (2).

Aber wir können jedes beliebige Koordinatensystem wählen, das wir wollen, und wir können Koordinaten wählen, die Ihre Koordinatenbeschleunigung zu Null machen - dies ist nur Ihr Ruhesystem. Alternativ können wir Koordinaten wählen, die die Christoffel-Symbole zu Null machen - dies sind die Fermi-Normalkoordinaten. Für einen frei fallenden Beobachter sagt uns Gleichung (2), dass die beiden Koordinaten gleich sind, dh dass die Fermi-Normalkoordinaten die Ruhekoordinaten eines frei fallenden Beobachters sind.

Dies ist das Äquivalenzprinzip, dh dass durch Ändern unserer Koordinaten die vier Beschleunigungen so gemacht werden können, dass sie als rein koordinativ, rein gravitativ oder in irgendeiner Kombination erscheinen.

Wenn ich also Ihre Frage 1 richtig verstehe, spielen Sie darauf an, dass der lokale Inertialrahmen das Fermi-Koordinatensystem ist und sich dies tatsächlich entlang des Pfades ändert, dh die Transformation zwischen meinen (stationären) Koordinaten und Ihren (Fermi-) Koordinaten ändert sich mit Ihnen fallen. Aber das gilt natürlich auch für die Newtonsche Physik.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie in Ihrer zweiten Frage fragen - vielleicht könnten Sie es klären -, aber es scheint mir, dass Sie denselben Punkt in einer etwas anderen Form fragen, also beantwortet die obige Diskussion hoffentlich auch Ihre zweite Frage.

Stellen Sie sich eine Reihe konzentrischer, papierdünner Zwiebelschalen (kugelförmige Schalen) vor, die die Erde umgeben und auf dem Massezentrum der Erde zentriert sind. Diese Häute erstrecken sich bis zum Massenmittelpunkt. Es gibt eine spezielle Schale, die die Erdoberfläche selbst ist (nehmen Sie eine perfekte, nicht rotierende Kugel an). Der frei fallende Beobachter wird diese Hülle nicht passieren können und sein Gewicht wird sich als Kraft auf einer Gewichtsskala manifestieren. Jede Schale über dieser Schale wird ein immer kleineres Gewicht registrieren, wenn es möglich wäre, dort eine Waage anzubringen. Aber ohne die Waage wird der Beobachter im freien Fall nichts fühlen. In Wirklichkeit sind die Schalen laut Einstein unendlich dünn und verschmelzen zu einem Kontinuum.

Der Beobachter wird beschleunigen, weil der Raum im Massenmittelpunkt konvergiert und die Beschleunigung notwendig ist, um den Impuls aufrechtzuerhalten. In Newton ist der Raum nicht konvergent, seine Parallele und damit sein Impuls wird mit konstanter Geschwindigkeit beibehalten. Beachten Sie, dass wir hier nur den konvergenten Vektor und keinen Orbitalvektor betrachten, sodass die Bewegung eine gerade Linie zum Massenmittelpunkt und keine Geodäte ist. Beachten Sie auch, dass die Beschleunigung dadurch ausgelöst wird, dass die Hülle zu den Füßen des Beobachters etwas kleiner ist (größere Anziehungskraft) als die zu seinem Kopf.