Allgemeinster nicht-relativistischer Hamiltonoperator für Wasserstoffatome in quantisierten elektromagnetischen Feldern

Question

Allgemeinster nicht-relativistischer Hamiltonoperator für Wasserstoffatome in quantisierten elektromagnetischen Feldern

Quantum

In vielen Lehrbüchern geht die Ableitung der Energieniveaus in einem Wasserstoffatom vom einfachen Hamiltonoperator aus $H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\mathbf{r}}$ und fügt dann relativistische Feinstruktur oder Hyperfeinstruktur als Korrekturen zu diesen grundlegenden Energieniveaus hinzu. Die Wirkung eines elektromagnetischen Feldes wird dann oft durch Modifikation des Hamiltonoperators mit einbezogen $H = \frac{\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)^2}{2m} + e \phi$ für elektromagnetische Potentiale $\mathbf{A}$ Und $\phi$ .

Was ich an diesem Ansatz seltsam finde, ist, dass die Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron von Anfang an elektrostatisch ist (also das Vorhandensein eines elektromagnetischen Feldes erfordert), warum also das quantisierte elektromagnetische Feld erst später und nicht gleich zu Beginn hinzugefügt wird? Auch die Energie der Spins der Teilchen in einem äußeren Magnetfeld scheint in dieser Behandlung nicht enthalten zu sein.

Was mich wundert, ist folgendes: Wenn wir nicht vom grundlegenden Hamiltonoperator ausgehen und alle Terme später hinzufügen, sondern uns daran machen, die Energieniveaus für ein Proton und ein (gebundenes) Elektron in einem quantisierten elektromagnetischen Feld (erzeugt von Proton und Elektron, aber auch durch externe Strahlung, die vorhanden sein könnte), was ist der Hamiltonoperator, der dieses System beschreibt? Das Proton und das Elektron sollten als nicht-relativistisch angesehen werden, sollten also als quantisiert in dem Sinne angesehen werden, dass Observablen Operatoren sein sollten, aber ohne die Notwendigkeit einer Quantenfeldtheorie, um Proton und Elektron zu beschreiben. Wie könnten relativistische Effekte dann perturbativ in diese allgemeine Behandlung einbezogen werden?

EDIT: Nur zur Verdeutlichung, die Situation, die mich interessiert, ist folgende: Zwei geladene, spintragende nicht-relativistische Teilchen (Proton und Elektron) bewegen sich unter dem Einfluss eines internen elektrischen Felds, das aus ihren Ladungen und einem externen Feld resultiert zur Bestrahlung. Beide Teilchen sollten in den Hamilton-Operator einbezogen werden, damit das Proton auch eine Kopplung zu irgendwelchen elektromagnetischen Feldern hat. Fragen: Wie wird das innere Feld als quantisiertes elektromagnetisches Feld behandelt, was zu einer potentiellen Energie führt? Zu welchen Termen im Hamiltonoperator führt die Wechselwirkung mit dem äußeren Feld? Was ist daher der allgemeinste Hamiltonoperator für ein nicht-relativistisches Proton-Elektron-System, das sich in einem quantisierten elektromagnetischen Feld bewegt?

Alle Verweise auf Lehrbücher oder Zeitschriftenartikel mit einer detaillierten Behandlung des allgemeinsten und (innerhalb der Grenzen der Vernachlässigung relativistischer Effekte) genauesten Hamiltonoperators, der ein solches System beschreibt, wären sehr nützlich.

Matteo

Was meinst du damit: "Warum kommt das quantisierte elektromagnetische Feld also erst später und nicht gleich am Anfang hinzu?"? Wenn ich es richtig verstanden habe, ist das durch minimale Kopplung hinzugefügte EM-Feld ein externes Feld, das das System stört. Interessant die Frage nach dem Spin.

Quantum

So wie ich es verstehe, die elektromagnetischen Felder

E

$\mathbf{E}$ Und

B

$\mathbf{B}$ (oder entsprechende Potentiale

A

$\mathbf{A}$ Und

ϕ

$\phi$ ) sollten als quantisierte Felder behandelt werden (d. h. durch Operatoren mit geeigneten Kommutierungsbeziehungen dargestellt werden), unabhängig davon, was sie verursacht. Bei der Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron handelt es sich um ein elektromagnetisches Feld (genauer gesagt um ein elektrisches Feld), daher hätte ich einen entsprechenden Feldoperator im Hamiltonoperator für die Proton-Elektron-Wechselwirkung erwartet.

Antworten (2)

Allgemeinster nicht-relativistischer Hamiltonoperator für Wasserstoffatome in quantisierten elektromagnetischen Feldern

Was meinst du damit: "Warum kommt das quantisierte elektromagnetische Feld also erst später und nicht gleich am Anfang hinzu?"? Wenn ich es richtig verstanden habe, ist das durch minimale Kopplung hinzugefügte EM-Feld ein externes Feld, das das System stört. Interessant die Frage nach dem Spin.
So wie ich es verstehe, die elektromagnetischen Felder $\mathbf{E}$ Und $\mathbf{B}$ (oder entsprechende Potentiale $\mathbf{A}$ Und $\phi$ ) sollten als quantisierte Felder behandelt werden (d. h. durch Operatoren mit geeigneten Kommutierungsbeziehungen dargestellt werden), unabhängig davon, was sie verursacht. Bei der Wechselwirkung zwischen Proton und Elektron handelt es sich um ein elektromagnetisches Feld (genauer gesagt um ein elektrisches Feld), daher hätte ich einen entsprechenden Feldoperator im Hamiltonoperator für die Proton-Elektron-Wechselwirkung erwartet.

Benutzer154997 · Answer 1

Ich denke, was Sie wollen, ist ausgehend von der Dirac-Gleichung die nicht-relativistische Grenze zu finden, die im Grunde die Pauli-Gleichung ist , plus Spin-Bahn-Kopplung , plus den Darwin-Term . Der klassische Weg dazu ist die Foldy-Wouthuysen-Transformation [FW50]. Das Lesen des Papiers erfordert etwas zusätzliche Mühe, da sie altmodische Notationen für die Dirac-Maschinerie verwenden, die aber aus dem Gedächtnis überschaubar sind. Ich habe die Wikipedia-Seiten hauptsächlich für die Bibliographie zitiert, da ich sie nicht besonders leicht zu lernen finde.

In jedem Fall ist die endgültige Antwort eine Serie in $v/c$ , deren klassische Terme durch den folgenden Hamiltonian gegeben sind, entnommen aus dem klassischen Lehrbuch von Cohen-Tannoudji, Diu und Laloë [CTDL77, Kapitel 12, Anhang B, Gl. (BI)]:

H = M_{e} C^{2} + \underset{klassisch}{\underset{⏟}{\frac{P^{2}}{2 M_{e}} + v}} \underset{relativistisches Momentum}{\underset{⏟}{- \frac{P^{4}}{8 M_{e}^{3} C^{2}}}} + \underset{Spin-Umlaufbahn}{\underset{⏟}{\frac{1}{2 M_{e}^{2} C^{2}} \frac{1}{R} \frac{\partial v}{\partial R} L \cdot S}} + \underset{Darwin}{\underset{⏟}{\frac{ℏ^{2}}{8 M_{e}^{2} C^{2}} Δ v}}

$H = m_ec^2 + \underbrace{\frac{P^2}{2m_e} + V}_\text{classic} \underbrace{- \frac{P^4}{8m_e^3c^2}}_\text{relativistic momentum} + \underbrace{\frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{R}\frac{\partial V}{\partial r}L\cdot S}_\text{spin orbit}+\underbrace{\frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2}\Delta V}_\text{Darwin}$

In Gegenwart eines elektromagnetischen Feldes $A$ , ist das Rezept $P\to P-eA$ , und dann den zusätzlichen Begriff

- 2 μ_{B} \frac{1}{ℏ} S \cdot B .

$-2\mu_B \frac{1}{\hbar}S\cdot B.$

Diese Korrektur muss verwendet werden, um das Magnetfeld aus dem magnetischen Moment des Protons tatsächlich zu berücksichtigen.

Schließlich gibt es noch den Beitrag des elektromagnetischen Feldes selbst. Dies ist eigentlich ein sehr einfacher Begriff, nur das Äquivalent einer Summe von harmonischen Oszillatoren, einer pro Photonenmodus,

H_{e M} = \sum_{ich} ℏ ω_{ich} (A_{ich}^{+} A_{ich} \frac{1}{2}) .

$H_{em} = \sum_i\hbar\omega_i\left(a_i^+a_i\frac{1}{2}\right).$

Also hier, $a_i^+$ ist ein Erstellungsoperator und $a_i$ ein Zerstörungsoperator ist, sowohl für ein Photon als auch für einen Wellenvektor $k_i$ , Energie $\omega_i$ , und Helizität $\epsilon_i$ , senkrecht zu $k_i$ : Dies ist der Punkt bei der Verwendung des Colomb-Messgeräts, es entkoppelt die zeitlichen und longitudinalen Freiheitsgrade der Photonen vollständig, die dann ignoriert werden können.

[FW50] Leslie L. Foldy und Siegfried A. Wouthuysen. Zur Dirac-Theorie der Spin-1/2-Teilchen und ihrer nicht-relativistischen Grenze. Phys. Rev., 78:29–36, April 1950.

[CTDL77] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu und Franck Laloë. Quantenmechanik. Wiley, New York, NY, 1977. Übers. von : M ́ecanique quantique. Paris: Hermann, 1973.

Dies berücksichtigt Feinstruktur und Hyperfeinstruktur, beinhaltet jedoch kein quantisiertes elektromagnetisches Feld. Zur Verdeutlichung habe ich wohl zwei Fragen: 1) Das Elektron und das Proton werden als geladene, spintragende Teilchen modelliert, die sich unter dem Einfluss eines elektromagnetischen Felds bewegen. Dieses Feld entsteht teilweise aufgrund eines internen Feldes, das durch ihre Ladungen erzeugt wird. Soll dieses innere Feld als quantisiert betrachtet werden (und wie entsteht daraus die potentielle Energie im Hamiltonoperator)? 2) Ein anderer Teil des Feldes ist auf externe Strahlung zurückzuführen - wie wird dies konsequent einbezogen?
ah, ok, das hast du nicht erwähnt ... nun, in der Coulomb-Eichung sieht der Hamiltonian fast so aus, wie ich es bereits geschrieben habe, plus einen Begriff für das elektromagnetische Feld, aber in dem Teil der Welt, in dem ich lebe, wird es spät! Also morgen…
In jedem Fall ist der Foldy-Wouthuysen immer noch eine wesentliche Zutat.
Tut mir leid, es ist mir entfallen, das kleine bisschen über den Hamilton-Operator für Strahlung hinzuzufügen.

Höhlenmensch · Answer 2

Sie müssten Diracs Gleichung lösen

(ich ℏ γ^{μ} \partial_{μ} - M C) ϕ = 0

$(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu - mc)\phi = 0$

Hier ist eine ziemlich gute Referenz, wie man es für das Wasserstoffatom macht

Mir ist die Dirac-Gleichung bekannt, aber ich habe in meinem Beitrag erwähnt, dass die Behandlung in Bezug auf Proton und Elektron als Teilchen nicht relativistisch sein sollte und dass sie das elektromagnetische Feld berücksichtigen sollte (beide intern aufgrund der Elektrostatik von Elektron-Proton Potential und extern durch eventuell vorhandene Strahlung) als Quantenfeld. Danke für den Link!

Allgemeinster nicht-relativistischer Hamiltonoperator für Wasserstoffatome in quantisierten elektromagnetischen Feldern

Quantum

Matteo

Quantum

Antworten (2)

Benutzer154997

Quantum

Benutzer154997

Benutzer154997

Benutzer154997

Höhlenmensch

Quantum

Kann ein Elektron auf ein höheres Energieniveau springen, wenn die Energie nicht ausreicht oder ΔEΔE\Delta E überschreitet?

Quantisierendes EM-Feld

Gibt es eine klassische Erklärung dafür, warum das Elektron im Grundzustand eines Wasserstoffatoms nicht spiralförmig in das Proton übergeht? [geschlossen]

Quanteneffekte, die die elektrische Anziehung in einem Atom begrenzen

Verstößt Bohrs Atommodell nicht gegen Maxwells Theorie des Elektromagnetismus? [Duplikat]

Migdals Problem, ein Teilchen in einem Magnetfeld zu drehen [geschlossen]

Warum verwenden wir das Coulomb-Potential für das Wasserstoffatom?

Warum emittieren Atome während eines Energieniveauübergangs nicht mehr als ein Photon?

Die Stabilität eines Atoms

Wie groß ist die Dichte virtueller Photonen um eine Einheitsladung?