Alternative Axiome für Gruppen.

Die üblichen Axiome, die ich für eine Gruppe gesehen habe, sind: Assoziativität; Existenz zweiseitiger Identität; Existenz von zweiseitigen Inversen für alle Elemente.

∀ A , B , C ∈ G : A ( B C ) = ( A B ) C
∃ e ∈ G , ∀ A ∈ G : A e = A = e A
∀ A ∈ G ∃ A ' ∈ G : A A ' = e = A ' A

Ich bin kürzlich auf eine andere Axiomatisierung gestoßen, und es gab keine Äquivalenzbeweise. Sie waren: Assoziativität; Existenz von Linksidentität; Existenz von Linksinversen.

∀ A , B , C ∈ G : A ( B C ) = ( A B ) C
∃ e ∈ G , ∀ A ∈ G : e A = A
∀ A ∈ G , ∃ A ' ∈ G : A ' A = e

Sind diese gleichwertig? Ich bezweifle es irgendwie, da wir assoziative Halbgruppen mit linken, aber nicht rechten Identitäten haben, aber vielleicht ändert der linksinverse Teil die Dinge.

Es gab einen Beweis dafür, dass angesichts dieser Axiome eine Linksumkehrung eine Rechtsumkehrung ist und daher das ursprüngliche Umkehrungsaxiom bewiesen ist, aber was ist mit der Rechtsidentität?

Beweis: Let G ∈ G Dann G hat eine linke Umkehrung, nennen Sie es G ' ∈ G und auch dies hat eine linke Inverse, nennen Sie es G ″ ∈ G . Dann, G ' G = e , G ″ G ' = e und so

G G ' = e G G ' = G ″ G ' G G ' = G ″ G ' = e
So G ' ist das Rechtsumgekehrte von G Auch.

Alle Halbgruppen sind assoziativ.
Ja, fairer Punkt zur Sprache. Ich wollte betonen, dass diese 2/3 der alternativen Gruppenaxiome erfüllen.
Das Wort „Magma“ wäre dann passender.
Ich kann es bearbeiten, wenn Sie möchten, aber haben Sie irgendwelche Gedanken zu der Frage?
@Shaun ein Monoid?
Eine linke Identität e erfüllt, angesichts der Existenz von Inversen, A e = A A ' A = e A = A , für A ∈ G
Nein, @HennoBrandsma; In einem Monoid gibt es eine richtige Identität ( nämlich die Identität) und das OP gibt (fälschlicherweise) an, dass es keine richtigen Identitäten gibt.
Ich habe nicht gesagt, dass irgendetwas Rechtsidentitäten fehlt, außer bei bestimmten Halbgruppen, was wahr ist: Sei X eine Menge und definiere die Multiplikation mit xy=y, dann haben wir Assoziativität und Links-, aber nicht Rechtsidentitäten.
Es ist erwähnenswert, dass Sie noch weniger benötigen. Assoziativität ist ziemlich mächtig. Wenn Sie eine linke und rechte Teilung haben (z ∀ A , B ∃ ! C , D A = B C ∧ A = D B ), dann haben Sie bereits ein Identitätselement.

Antworten (1)

Ich stimme dem Beweis zu, dass die linke Inverse (bzgl. der linken Identität) auch eine rechte Inverse ist.

Nun lass e sei die Linksinverse und G ∈ G . Dann

G e = G ( G ' G ) = ( G G ' ) G = e G = G
wo wir das verwenden G ' ist beidseitig.

Dann e ist auch eine richtige Identität.

Na, bitte! Schön, habe ich selbst nicht gesehen. Ich schätze, ich finde es etwas seltsam festzustellen, dass Umkehrungen zweiseitig sind, bevor Identität ist, denn was ist eine Rechtsumkehrung, wenn die Identität nicht zweiseitig ist?
@JoshuaTilley Sie arbeiten mit der Umkehrung der linken Identität (die einzige, die wir zu Beginn haben) und G ' ist dafür zweiseitig, und gerade das ermöglicht dann diese doppelte Identität, dh das e ist Identität auch von rechts.
Ich verstehe die Argumentation. Mein Punkt ist, dass allein A A ' = e für eine willkürliche linke Identität e macht nicht A ' sich als rechtsumgekehrt verhalten, das war mein Punkt. Angesichts der anderen Anforderungen gemäß Ihrer Antwort ist dies natürlich der Fall.
Alternative Axiome für Gruppen.
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