Analysis und Physik Hilfe!

Es gibt eine Differenzierungsregel namens Potenzregel für Potenzgesetzfunktionen, die dies besagt

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n−1}$

Sie sollten dies anhand der Definition einer Ableitung (in Bezug auf Grenzen) beweisen können, die Sie gelernt haben. Eine andere Regel besagt, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Ableitungen dieser einzelnen Funktionen ist (was ebenfalls leicht zu beweisen ist). So können Sie jeden Begriff in Ihrem Ausdruck separat differenzieren und die Ergebnisse addieren. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Ihre unabhängige Variable hier die Zeit (t) und nicht x ist.

Sie sehen, das Problem hier ist, dass die Frage nach einer Geschwindigkeit bei fragt $t=1$. Dies bedeutet, dass sie eine momentane Geschwindigkeit erfordern, die per Definition die Ableitung der Positionsfunktion bei ist$t=1$. Wenn Sie aus irgendeinem Grund keine Ableitungsregeln verwenden möchten und Ihnen ein wenig zusätzliche Arbeit nichts ausmacht, können Sie die Geschwindigkeit aus einem Grenzwert berechnen. (In Wirklichkeit ist dies dasselbe wie die Ableitung, wie Sie später sehen werden. Eine Ableitung ist nur eine Grenze selbst.)

Um die momentane Geschwindigkeit zu nehmen, verwenden wir die Formel$\overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. ich benutze$\overline{v}$um die Durchschnittsgeschwindigkeit zu bezeichnen . Zwischendurch$t$Und$t+\Delta$wir haben

$$\overline{v} = \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\left(3(t+\Delta t)^2 - 12(t+\Delta t)+4\right)-\left(3t^2-12t+4\right)}{\Delta t}$$ Etwas vereinfachen $$\overline{v} = \frac{6t\Delta t + (\Delta t)^2 -12\Delta t}{\Delta t}$$ Jetzt kommt die Rechnung. Wenn wir die Grenze als nehmen $\Delta t \rightarrow 0$, das heißt, wenn wir das Zeitintervall immer kleiner nehmen, so dass sich die mittlere Geschwindigkeit der Momentangeschwindigkeit nähert, dann der Momentangeschwindigkeit $v$Ist $$v = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{6t\Delta t + (\Delta t)^2 -12\Delta t}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\left(6t-12+\Delta t\right)=6t-12$$ Beachten Sie, dass dies genau die Ableitung ist, die Sie zuvor hatten, und die obigen Schritte tatsächlich eine Berechnung der Ableitung aus Grundprinzipien sind.

Denken Sie es so. Auf einen$x$gegen$t$Parzelle. Die Steigung der Geraden ist die Änderungsrate von$x$gegenüber$t$die gegeben ist durch,

$lim \ \Delta t\rightarrow0 \ \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}=v$

Weitere Informationen finden Sie hier

http://en.wikipedia.org/wiki/Derivative