Elektromagnetik und Vektorrechnung

Vor dem Vektor

Bevor die Vektorrechnung eingeführt wurde, müssen einige Orientierungspunkte berücksichtigt werden, um die Vektorgeschichte zu verstehen. Diese sind:

1. Komplexe Zahlen und ihre geometrische Interpretation
2. Leibniz' Arbeit über die Geometrie des Ortes
3. die Parallelogrammdarstellung von Kraft und Geschwindigkeit

Die erste kann auf Cardans Ars MagnaVeröffentlichung im Jahr 1545 zurückgeführt werden, da der Typ der erste war, der Wurzeln negativer Zahlen für sich selbst einführte. Man muss zwei Jahrhunderte warten, bevor man Zeuge der Zustimmung zu dieser seltsamen Schrift wird.

Leibniz drückt in einem Brief an Huygens den Willen aus, der Position einen mathematischen Ausdruck zu geben, so wie die Amplitude einen hat. Genau darum geht es bei der Vektoranalyse, richtig? Leider weiß ich nicht, wie Leibniz auf seine eigene Frage geantwortet hat.

Lassen Sie uns jetzt ein Genie zitieren

"Ein Körper, auf den gleichzeitig zwei Kräfte einwirken, beschreibt die Diagonale eines Parallelogramms in der gleichen Zeit, wie er die Seiten durch diese Kräfte getrennt beschreiben würde."

Newton hatte 1678 nicht die Idee eines Vektors, aber das sieht aus wie die Summe zweier Vektoren, richtig?

Zwischen 1799 und 1828 arbeiteten drei Paare von zwei Autoren gleichzeitig und unabhängig voneinander an der Geometrie komplexer Zahlen. Wessel und Gauß schrieben 1799 unabhängig voneinander darüber, wie man Richtungen analytisch darstellt, Buéé und Argand folgten 1806 mit geometrischen Interpretationen für komplexe Zahlen, und Warren und Mourey veröffentlichten beide 1828 umfangreiche Bücher, die solche Darstellungen beschreiben.

Going 3-D: die Quaternion

Hamilton (wir nähern uns dem Elektromagnetismus) veröffentlichte 1837 eine philosophisch anmutende Abhandlung, in der er seine Hoffnung zum Ausdruck bringt, eine „Theorie der Tripletts“ zu entwickeln, um die 3-D-Geometrie zu beschreiben. 1843 kommt er schließlich auf eine Multiplikationsoperation mit dem, was heute als Quaternionen bekannt ist. Er war sehr zufrieden damit und verbrachte den Rest seines Lebens damit, über Quaternionen zu schreiben.

Hamilton (erneut er) führte in einer späteren Arbeit (1846) die Begriffe Skalar und Vektor ein, um die Real- und Imaginärteile seiner Quaternionen zu beschreiben. Der Vektoranteil des Quaternionsprodukts zweier rein vektorieller Quaternionen ist gleich dem Gegenteil des bekannten Vektor/Punkt-Produkts, und der Skalaranteil ist das sogenannte Kreuzprodukt.

Hamilton starb, hinterließ aber einen Nachfolger für seine Sache, Tait. Tait veröffentlichte zahlreiche Artikel über Quaternionen, einschließlich einer ausführlichen Beschreibung der Verwendung des Operators Nabla, was ihm Maxwells Lob als "Chief Musician upon Nabla" einbrachte.

Maxwell, oder die Beantwortung der ursprünglichen Frage

1873 veröffentlichte Maxwell seine Treatise on Electricity and Magnetism, eine Abhandlung, die einen enormen Einfluss auf die Wissenschaft des 19. Jahrhunderts hatte. In diesem Aufsatz präsentiert Maxwell viele seiner Ergebnisse nicht nur in der damals üblichen kartesischen Form, sondern auch in ihren quaternionischen Formen. Maxwell verteidigte und bewarb die Verwendung von Quaternionen nicht nur als praktisches Werkzeug (er schien sich mit der kartesischen Geometrie wohler zu fühlen), sondern als effektivere Möglichkeit, raumbezogene Größen zu denken.

Soweit ich weiß, hat Maxwell nichts zur Vektorrechnung beigetragen, aber seine Billigung der damals gelobten, aber nicht verwendeten Quaternionen in einem bahnbrechenden Artikel ermöglichte es der Vektorrechnung, ein weit verbreitetes Objekt in der Physik zu werden. Die moderne (nach Hamilton) Vektoranalyse basiert hauptsächlich auf Arbeiten von Gibbs und Heaviside um die Wende des 20. Jahrhunderts, aber Maxwell hat sicherlich viel zur Vektorrechnung beigetragen, indem er sie in der vielleicht meistgelesenen Veröffentlichung des 19. Jahrhunderts verwendet hat .

Diese Antwort basiert sowohl strukturell als auch inhaltlich auf einem Vortrag , zu dessen Lektüre ich Sie einlade, da es sich um einen sehr unterhaltsamen/informativen Text handelt.

Die Originalarbeit von James Clerk Maxwell aus dem Jahr 1864, „ Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes “, enthielt die gesamte Elektrodynamik in Form von 20 nichtvektoriellen Gleichungen in 20 Variablen.

Nach diesem Papier wurden Anstrengungen unternommen, um diese Gleichungen in eine systematischere Form zu bringen. Algebraische Quaternionen waren damals das einzige mathematische Instrument, das zu diesem Zweck zur Verfügung stand. JC Maxwell versuchte, mit Quaternionen zu arbeiten, war aber nicht sehr erfolgreich. Jedenfalls wurden solche Bemühungen nur der Schönheit wegen in Betracht gezogen, da die vollständige Theorie bereits aus Maxwells Originalarbeit verfügbar war.

Schließlich kamen Josiah Gibbs und Oliver Heavyside auf die Vektoranalyse, und was heute „Maxwells Gleichungen“ genannt wird, ist in Wirklichkeit eine Neuformulierung von Oliver Heavyside der ursprünglichen Gleichungen, die von JC Maxwell vorgeschlagen wurden. Soweit der technische Teil der Geschichte.

Andererseits ist selten aufgefallen, dass Quaternionen die "Quadratwurzel" einer algebraischen Zahlenidentität sind: Leonhard Eulers 4-Quadrate-Identität:

Das Quadrat dieses Produkts ist

und mit folgendem

Wir haben die 4-Quadrate-Identität von Leonhard Euler:

Die Quaternionen verwendende Elektrodynamik hat daher den Vorteil, dass sie metaphysisch durch eine algebraische Zahlenidentität gestützt wird: Alles bleibt bei einer solchen Transformation erhalten.

Ein weiterer Vorteil ist die einfache und transparente Formulierung. Der Gradient,$\delta\times A$, des Vektorpotentials$A$ist keine 2-Form, sondern ein Vektor, wie es für eine physikalische Größe erwartet wird, die eine Kraft oder eine Bewegung darstellen soll, mit einer Richtung im Raum:

Unter Lorenz-Eichung verschwindet die erste Linie identisch, und die verbleibenden Linien ergeben das elektromagnetische Feld in der Quelle$(E/c)$Und$\operatorname{curl} (B)$:

Source und Curl sind die beiden Teile einer 4-dimensionalen isoklinen Doppelrotation um einen Punkt; ein Quaternion ist ein Operator zur Durchführung allgemeiner isokliner Doppelrotations- und Dehnungsoperationen im 4-dimensionalen Raum.

Das Quadrat$(\delta\times A) \times (\delta\times A)''$ist gleich$(E⁄c)^2 + B^2$, dh es gibt keine gemischten Begriffe$E$Und$B$, weil beide Teile einer isoklinen Doppelrotation orthogonal zueinander stehen.

Laut Thomas Hankins Biographie von William Rowan Hamilton traf sich Michael Faraday 1834 mit Hamilton in Dublin. Faraday ist berühmt für seine elektromagnetischen Experimente und las über die Feldideen von Boscovich. Faradays Experimente legten ihm nahe, dass sie am besten durch die Idee von Feldern erklärt werden könnten. Faraday erkannte, dass die Feldbehandlung Geometrie und numerische Analyse beinhalten muss. Hamilton war als mathematisches Genie bekannt und Faraday überzeugte ihn von der Notwendigkeit einer geometrischen Algebra.

Hamilton brauchte 9 Jahre, 1843 erfand er Quaternionen und 1844 Biquaternionen (komplexe Quaternionen) [Proceedings of Royal Irish Academy]. Maxwell verwendete Quaternionen, die er von seinem Jugendfreund Peter Guthrie Tait lernte. Maxwell schrieb an Tait, dass er Quaternionen „Sauerteig-Elektromagnetismus“ überlassen wolle, [Michael Crowe History of Vector Analysis] Leider starb Maxwell jung an Krebs und Elektromagnetismus wurde vom Telegraphenbetreiber Oliver Heaviside entführt, der Quaternionen hasste, und betitelte einen der Abschnitte seines Buches mit „ Über die Abstrusheit der Quaternionen und die Vorteile, die man durch ihre Nichtbeachtung gewinnt“. Heaviside mit der Hilfe von J. Willard Gibbs kürzte die Quaternion, um eine Vektoranalyse durchzuführen.

Ludwik Silberstein war der erste, der die (Bi)quaternion-Version der Maxwell-Gleichung veröffentlichte, in der alle 4 Maxwells als eine Biquaternion-Gleichung geschrieben sind, in demselben Artikel, in dem er die Quaternion-Lorentz-Transformation gab [L.Silberstein "The Quaternion form of Relativity", Philosophical Magazine, 1913] Die Quaternion-Form der Dirac-Gleichung wurde 1929 von Cornelius Lanzcos entdeckt.

William Rowan Hamilton erfand den Del- oder Nabla-Operator, als er mit Quaternionen arbeitete. ee https://books.google.com/books?id=iuoZSkSOBQsC&pg=PA142&dq=%22William+Rowan+Hamilton%22+and+Nabla&hl=en&sa=X&ei=u78_VaGAGsWEsAWevoGoCg&ved=0CDkQ6AEwBA

Heaviside und Gibbs haben unabhängig voneinander die Vektoranalyse erfunden, um die Hauptergebnisse von Maxwells Theorie klar darzulegen. Also hat dein Freund recht. Es gab jedoch eine Reihe von Vorläufern, die diese einfache Geschichte verkomplizieren - also nicht vollständig.

Als Maxwell seine Gleichungen zum ersten Mal veröffentlichte, gab es zwanzig Gleichungen mit fast ebenso vielen Unbekannten. Als er erkannte, dass seine Theorie ohne einen transparenteren Rahmen nur wenige Abnehmer haben würde (wie Freeman Dyson bekanntermaßen zu seiner Verwunderung feststellte), schrieb er die Theorie unter Verwendung von Quaternionen um, aber dies weckte kein Interesse.

Erst nachdem Gibbs & Heaviside die Theorie neu formulierten, begann das Interesse schnell zu steigen. Die traditionelle Darstellung der Gleichungen in Lehrbüchern ist Heavisides, weshalb sie manchmal als Heaviside-Maxwell-Gleichungen bezeichnet werden.

Ihnen jedoch vorausgegangen ist ein irischer Mathematiker namens Matthew O'Brien, der zwischen 1847 und 1852 sieben Arbeiten über Vektorformulierungen der Mechanik veröffentlichte und viele von Gibbs späteren Ergebnissen vorwegnahm. Er wiederum wurde von Hamiltons Entdeckung der Quaternionen inspiriert, während er nach einer 3D-Version der komplexen Zahlen suchte. Auch Hermann Grassmann gebührt Verdienst, der in seinem Buch A theody of extension eine sehr allgemeine Form der linearen Algebra vorstellte, die das Thema mehr oder weniger erfand . Er entwickelt unter anderem die Begriffe lineare Unabhängigkeit und Dimension.

Liebniz verdient Anerkennung dafür, dass er den Wert einer Geometrie erkannt hat, die keine Koordinaten erfordert, und uns in gewisser Weise zur synthetischen Geometrie von Euklid zurückführt. Konnte aber selbst nichts Handfestes aufbieten. Um die Suche nach einem geeigneten Rahmen anzuregen, wurde ein Wettbewerb ausgeschrieben, den Grassmann erfolgreich gewann.

Die Einsicht von Liebniz war bemerkenswert, da sie dem Begriff von Invarianz und Kovarianz in der Geometrie zugrunde lag, der später von Physikern aufgegriffen wurde. Und wir haben viele Geometrien, die normalerweise direkt die Position einnehmen, ohne Koordinaten zu erwähnen. Zum Beispiel Mannigfaltigkeiten, topologische Räume, metrische Räume, affine Räume und natürlich Vektorräume.