Analytik und Kausalität in der Relativitätstheorie

Vor einigen Wochen machte ein Redner, dem ich zuhörte, auf einer Konferenz die Bemerkung, dass eine Funktion (sagen wir Skalar) nicht analytisch sein kann, weil sie sonst die Kausalität verletzen würde. Er hat dies nicht präzisiert, da es eine Nebenbemerkung war, und obwohl es mich faszinierte (ich hatte das noch nie zuvor gehört), habe ich bis heute Morgen nicht viel darüber nachgedacht.

Jetzt, wo ich darüber nachdenke, scheint es eigentlich ziemlich offensichtlich zu sein. Schau einfach rein 1 + 1 Minkowski-Raum: angenommen F ist um einen gewissen Punkt herum analytisch ( T 0 , X 0 ) , dann kann ich an diesem Punkt etwas Ball finden, so dass an einem anderen Punkt ( T , X ) in der Kugel, aber außerhalb des Lichtkegels von ( T 0 , X 0 ) wir haben das F ( T , X ) wird vollständig durch den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen at bestimmt ( T 0 , X 0 ) . Dies scheint gegen den Geist der Kausalität zu verstoßen.

Wenn das obige richtig ist, weiß jemand, wann dies zum ersten Mal diskutiert wurde? Ich stelle mir vor, dass es ziemlich lange her wäre. Es ist interessant, weil ich es bis zu dieser Konferenz noch nie gehört hatte. Vielleicht wird es als uninteressant/offensichtlich erachtet?

Sind Sie sicher, dass der Redner über die Analysefähigkeit der Felder selbst gesprochen hat? Ich habe von Analytizität nur im Zusammenhang mit Korrelationsfunktionen gehört. Da haben wir "analytisch in der oberen Halbebene = kausal".
Ich bezweifle, dass eine Antwort kurz sein kann. Aus der Erfahrung der Diskussion über dieses Problem (auch durch Antworten und Kommentare hier bestätigt) lerne ich, dass selbst die Formulierung des Problems nicht sehr einfach ist. Einer meiner Kollegen hatte sogar die Idee, es als PhD-Thema zu verwenden ...

Antworten (3)

Nicht wirklich, wenn man den Standpunkt vertritt, dass es bei Kausalität darum geht, ob ein "Signal" schneller als mit Lichtgeschwindigkeit gesendet werden kann.

Erinnern Sie sich, dass die Frage, ob eine Funktion reell analytisch ist , lokal davon abhängt , ob es eine kleine Umgebung gibt, in der die Taylor-Reihe einer Funktion gegen die tatsächliche Funktion konvergiert. Man könnte also argumentieren, dass man bereits eine Tatsache postuliert, die nicht kausal abgeleitet werden kann, indem man postuliert, dass ein skalares Feld reell analytisch ist. Die Tatsache, dass Sie akausales Wissen verwenden, um mehr akausales Wissen abzuleiten, sollte nicht als Widerspruch zur Kausalität angesehen werden.

Anders ausgedrückt: Reale Analytik wird auch kausal propagiert: Wenn Sie die Skalarfeldgleichung (lineare Welle) und Daten erhalten, die in einem Raum-Zeit-Bereich real analytisch sind, dann können Sie höchstens sagen, dass die Lösung real ist Analytik im Bereich der Abhängigkeit. Außerhalb des Abhängigkeitsbereichs gibt es keine Garantie dafür, dass die Lösung tatsächlich eine echte Analytik ist.

Nehmen wir nun an, dass sich das Universum verschworen hat, sodass nur reelle analytische Funktionen als Lösungen für die skalaren Feldgleichungen existieren. Ich behaupte, dass Sie immer noch keine Verletzung der Kausalität haben: Das Hauptproblem besteht darin, dass es keine kompakt unterstützten reellen analytischen Funktionen gibt . Das hindert Sie daran, irgendwelche zu sendenSignale! Für reell-analytische Lösungen gilt nach wie vor der Abhängigkeitstheorem: Stimmen zwei Felder über eine Raumzeitregion überein, so stimmen sie auch über die Abhängigkeitsdomäne der Region überein. Das Problem ist nicht, dass Signale schneller als mit Lichtgeschwindigkeit gesendet werden können: Das Problem ist, dass für reell-analytische Funktionen der Abhängigkeitssatz völlig trivial ist: Wenn zwei reell-analytische Skalarfelder vollständig auf ein nicht-leeres übereinstimmen, ist es offen , Raum-Zeit-Region, müssen die beiden Skalarfelder überall übereinstimmen.

Ja, ich denke, das entspricht auch meiner Schlussfolgerung ... Ich denke, eine verfeinerte Interpretation dessen, was der Sprecher gesagt hat, ist, dass die Kausalität verletzt wird, wenn Sie fordern, dass jede Lösung immer analytisch ist. Mit anderen Worten (wie Sie in Ihrer Antwort sagen) stellt sich vielleicht nur heraus, dass eine Lösung analytisch ist. Wenn Sie jedoch fordern, dass sie unter einer lokalen Störung analytisch bleibt (dh Sie ändern die Lösung irgendwann ein wenig), dann verletzen Sie Kausalität...
Lassen Sie mich nur wiederholen: „Wenn Sie fordern, dass es unter einer lokalen Störung analytisch bleibt“, ist dies unmöglich: Die einzige lokale (im Sinne einer kompakt unterstützten) Störung, die wir als echte Analytik bewahren, ist die „0“-Störung, dh überhaupt keine Störung .

Analytische Funktionen sind Funktionen, die lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben sind.

Die Analytizität einer Funktion bedeutet nicht, dass man durch Kenntnis der Werte aller Ableitungen den Wert der Funktion an anderer Stelle bestimmen kann.

Insbesondere für alle Werte von j 0 Und j 1 man kann so eine analytische Funktion konstruieren j 0 = F ( X 0 , T 0 ) Und j 1 = F ( X 1 , T 1 ) .

Folglich ist das Argument, dass Analytizität die Kausalität brechen würde, nicht gültig.

Ich denke, es kommt darauf an, was man unter Analytik versteht. Für eine reellanalytische Funktion bedeutet die Kenntnis der Werte aller Ableitungen an einem Punkt nicht, dass Sie die Funktion an einem anderen Punkt finden können. Das klassische Beispiel ist exp ⁡ ( − 1 X 2 ) um X = 0 . Aber für eine komplexe analytische Funktion ist das wahr. Und es gilt auch für mehrere Variablen, auf Domänen, die als Konvergenz-Polyscheiben bezeichnet werden.
Ich meinte real-analytisch. Eine komplexe analytische Funktion (auch bekannt als holomorphe Funktion) zu sein, ist eine viel stärkere Eigenschaft.
Ja, sie sind lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben, was bedeutet, dass die Taylor-Reihe in einer offenen Menge mit einem Radius ungleich Null gegen die Funktion konvergieren muss. Für jeden Punkt in der Menge kann ich eine finden ϵ Kugel um diesen Punkt, so dass der Wert der Funktion in der Kugel durch ein unendliches Polynom gegeben ist, dessen Koeffizienten vollständig durch den Wert der Funktion und ihre Ableitungen im Mittelpunkt der Kugel bestimmt sind. Jetzt ist die Kreuzung der ϵ Kugel mit der Außenseite des Lichtkegels des Punktes wird nicht leer sein. Habe ich einen Fehler in der Argumentation gemacht?
@Sidious Lord: Nur zur Klarstellung exp ⁡ ( − 1 / X 2 ) glatt (dh unendlich differenzierbar) ist X = 0 aber nicht analytisch X = 0 . Basierend auf Ihrer Sprache denke ich, dass Sie das gemeint haben.
@ Kyle: Ja. Ich war nicht klar, aber was ich meinte, ist, dass es eine Mehrdeutigkeit gibt, eine echte analytische Funktion über die Konvergenzscheibe hinaus auszudehnen. Zum Beispiel kann ich zu einer echten analytischen Funktion ein Intervall hinzufügen ( − A , A ) eine Funktion F ( X ) , so dass F ( X ) = 0 für X ∈ ( − A , A ) während F ( X ) = exp ⁡ ( − 1 ( X − A ) 2 ) für X ∉ ( − A , A ) . Die Funktion F Ist C ∞ und es hat null Ableitungen in null. Entschuldigung, dass ich mich vorher nicht klarer ausgedrückt habe.
Das macht nichts, denn die Konvergenzscheibe enthält bereits Punkte, die raumartig voneinander getrennt sind.
@CristiStoica: Wie definieren Sie die Konvergenzscheibe in der Minkowski-Signatur? Welche Metrik verwenden Sie?
hängt davon ab, welche Topologie Sie wählen ... Ich glaube, dass die meisten Leute die übliche Topologie verwenden R N .
@Sidious Lord: Die Funktion e − 1 X 2 in einem Koordinatensystem definiert ist, sagen wir ( X , j , z , T ) . Bei der Berechnung der Konvergenz arbeitet man in dem Koordinatensystem, das die Topologie von hat R 4 . Wenn wir wollen, kann man die Topologie durch eine positive Metrik definieren, aber sie geht der Metrik voraus und ist unabhängig von der bestimmten positiven Metrik, die Sie verwendet haben, um sie zu definieren. Aber in keinem Fall verwendet man die Lorentz-Metrik, um die Topologie zu definieren, weil man einen nicht trennbaren topologischen Raum erhält (lichtartig getrennte Punkte werden nicht unterscheidbar sein und die Minkowski-Raumzeit wird ein Chaos sein).

Es gibt einige Kommentare, die ich dazu machen möchte, und ich werde sie in einer Antwort sammeln, obwohl ich die erforderliche Referenz nicht kenne.

Ich erinnere mich (es ist lange her), dass ich dies in einem Universitätslehrbuch über partielle Differentialgleichungen von Prof. V. Iftimie gelesen habe, das auf Rumänisch geschrieben und wahrscheinlich vor 1990 veröffentlicht wurde. Ich habe das Buch nicht, also kann ich nicht, wenn es da ist wurden irgendwelche Referenzen zitiert, um diesen Punkt zu stützen.

Jemand, der Feynman getroffen hat, erzählte mir, dass Feynman einmal einen mathematischen Physiker in Bezug auf sein neues Buch über Infinitesimalrechnung gefragt habe, was er mit einer Funktion meine, die nur zweimal ableitbar ist. Der Autor des Buches gab Feynman als Beispiel eine Funktion, die stückweise durch zwei analytische Funktionen definiert wurde, so dass die Funktion at stetig ist 0 , aber dort existieren nur die ersten beiden Ableitungen. Feynman antwortete "das ist keine Funktion!". Meine Vermutung ist, dass Feynman analytische Funktionen aus physikalischer Sicht für "realer" hielt als die künstliche Konstruktion, die als Beispiel gegeben wurde.

"Eine Funktion (sagen wir Skalar) kann nicht analytisch sein, weil sie sonst die Kausalität verletzen würde"

Da wir analytische Funktionen auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit definieren können, kann uns nichts davon abhalten, beliebig viele analytische Funktionen auf der Minkowski-Raumzeit zu definieren. Deshalb denke ich, dass es bei der Frage um analytische physikalische Felder geht.

Physikalische Felder sollen Lösungen von PDE sein. Die PDE kann nicht-analytische Lösungen haben (vorausgesetzt, dass die Anfangsbedingungen nicht durch analytische Funktionen gegeben sind), die schwache oder verallgemeinerte Lösungen sind (z. B. Verteilungen). Es wäre interessant, wenn es Beispiele für natürliche Lösungen der PDE in der Physik gibt, die so wild sind, dass sie nicht analytisch wären, zumindest wenn sie auf eine offene Menge beschränkt wären. Meine Vermutung ist, dass es für jedes solche Feld eine offene Menge gibt, auf die ihre Beschränkung analytisch ist. Und das Problem, das Sie aufgeworfen haben, betrifft sie auch, weil man in jeder offenen Menge zwei Punkte finden kann, die durch ein raumartiges Intervall getrennt sind.

Selbst wenn die physikalischen Felder im Universum analytisch sind, denke ich, dass wir eine analytische Funktion in der Praxis nicht verwenden können, um Nachrichten zu senden, die die Kausalität verletzen, weil wir nicht die Möglichkeit haben, ihren Wert und die Werte aller ihrer partiellen Ableitungen zu kontrollieren ( T 0 , X 0 ) innerhalb einer Annäherung vorherzusagen, was passiert ( T , X ) . (Wenn die Funktion ein Quantenfeld ist, können wir den Wert und die Ableitungen im Prinzip nicht kennen.)

OK, wir müssen nicht alles im Detail kontrollieren. Es reicht aus, die Konvention festzulegen, dass, wenn wir die Funktion Werte in einem Intervall haben oder nicht, das eine binäre Ziffer ist, sodass wir binäre Signale senden. Die Sache ist, dass wir das nicht einmal tun können, weil es immer zwei analytische Funktionen gibt, die die Beschränkungen respektieren, die wir auferlegen, um die Nachricht zu senden, und eine ist positiv und die andere negativ am Zielpunkt.

Was eine nicht-analytische Funktion kann, kann auch eine analytische Funktion, in welcher Genauigkeit wir wollen. Wir können sie also nicht durch Experimente unterscheiden, selbst wenn das Experiment Signale beinhaltet, die gegen die relativistische Kausalität verstoßen.

Analytik und Kausalität in der Relativitätstheorie
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