Fourier-Methoden in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Question

Fourier-Methoden in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Physik
Forschungsniveau
Fourier-Transformation
generelle Relativität
spezifische Referenz
mathematisch-physik

Kyle

Ich suche nach einigen Referenzen, die Fourier-Transformationsmethoden in GR diskutieren. Angenommen, Sie haben eine Metrik $g_{\mu \nu}(x)$ und seine Fourier-Transformation $\tilde{g}_{\mu \nu}(k)$ , was sagt Ihnen das über die Fourier-Transformation der inversen Metrik $\tilde{g}^{\mu \nu}(k)$ oder der Riemann-Tensor $\tilde{R}^{\mu}{}_{\nu \rho \sigma}(k)$ . Es gibt einige offensichtliche Identitäten, die Sie ableiten können, und ich suche nach Referenzen, die diese diskutieren und sagen, ob sie nützlich sind oder nicht.

Ein Beispiel dafür, was ich meine, ist die folgende Identität:

$g^{\mu \alpha}(x)g_{\alpha \nu}(x) = \delta^{\mu}_{\nu} \implies (\tilde{g}^{\mu \alpha} \ast \tilde{g}_{\alpha \nu})(k) = \delta^{\mu}_{\nu} \delta^{4}(k)$ . (Dies kann bei einer kompakten Mannigfaltigkeit oder bei asymptotisch flachen Metriken etc. sinnvoll sein.)

MBN

Sie würden die Ruhezeit brauchen, um zusätzliche Struktur zu haben. Wenn es sich beispielsweise um einen homogenen Raum handelt, können Sie darauf eine harmonische Analyse durchführen. Zum Beispiel die flache Minkowski-Raumzeit, sie ist sogar eine Gruppe. Aber ich glaube nicht, dass Sie mit einer allgemeinen Lorentzschen Mannigfaltigkeit viel anfangen können.

R. Rankin

Ich denke, Sie müssen nur eine globale Topologie angeben und von dort aus gehen. Unter der Annahme, dass der Raum einfach verbunden ist, haben Sie wirklich nur wenige Möglichkeiten (in vier Dimensionen). Räumlich geschlossen, offen oder flach, und zeitlich geschlossen, offen (oder flach???). Für den global flachen Fall-Standardtyp der Fourier-Transformation. Der geschlossene Fall ist eine allgemeinere Fourier-Transformation (Sie können mit dem Satz von Peter-Weyl finden). Ich glaube nicht, dass der offene Fall kompakt ist, also weiß ich nicht, was Sie tun können?

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Fourier-Methoden in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Sie würden die Ruhezeit brauchen, um zusätzliche Struktur zu haben. Wenn es sich beispielsweise um einen homogenen Raum handelt, können Sie darauf eine harmonische Analyse durchführen. Zum Beispiel die flache Minkowski-Raumzeit, sie ist sogar eine Gruppe. Aber ich glaube nicht, dass Sie mit einer allgemeinen Lorentzschen Mannigfaltigkeit viel anfangen können.
Ich denke, Sie müssen nur eine globale Topologie angeben und von dort aus gehen. Unter der Annahme, dass der Raum einfach verbunden ist, haben Sie wirklich nur wenige Möglichkeiten (in vier Dimensionen). Räumlich geschlossen, offen oder flach, und zeitlich geschlossen, offen (oder flach???). Für den global flachen Fall-Standardtyp der Fourier-Transformation. Der geschlossene Fall ist eine allgemeinere Fourier-Transformation (Sie können mit dem Satz von Peter-Weyl finden). Ich glaube nicht, dass der offene Fall kompakt ist, also weiß ich nicht, was Sie tun können?

Sidiger Herr · Answer 1

Sidiger Herr

Ich hätte dies als Kommentar hinzugefügt, aber ich habe nicht genug Ansehen.

Die Fourier-Transformation ist auf einem generischen GR-Hintergrund keine besonders nützliche Sache. Im flachen Raum ist die Fourier-Transformation nützlich, da wir Translationssymmetrie haben und der Impuls erhalten bleibt. Aber in einer generischen Lösung von Einsteins Gleichungen gibt es keine solchen Symmetrien (oder Killing-Vektoren).

Als Folge davon arbeitet man die meiste Zeit, wenn man QFT auf einem gekrümmten Raum macht, im Ortsraum, nicht im Impulsraum.

Kyle

Ja, eine Fourier-Zerlegung hängt von dem von Ihnen gewählten Koordinatensystem ab, und ja, ohne Symmetrien gibt es keine offensichtlichen Koordinatenoptionen. Trotzdem ist es nicht klar, dass dies bedeutet, dass es absolut keinen Wert hat, solche Dinge zu studieren. Frequenzen usw. kann man eventuell keine "physikalische" Bedeutung zuordnen, was für QFT problematisch sein kann. Dabei interessiere ich mich mehr für das Studium der klassischen GR als für QFT mit festem Hintergrund. Aber danke für deinen Kommentar/Antwort.

Eric Zalow

Was haben Sie für die Fourier-Transformation der flachen Metrik im Sinn? Wie würden Sie dem resultierenden Objekt eine metrische Interpretation zuschreiben? Es ist selten, eine koordinatenabhängige Methode von allgemeiner Bedeutung zu haben. Wenn Sie etwas an einem einzelnen Patch machen, brauchen Sie zumindest Randbedingungen, um sicherzustellen, dass Ihre Konstruktion nicht mit anderen Patches interagiert – aber dann ist es unwahrscheinlich, dass Ihre Fourier-Transformationen dieselben Randbedingungen berücksichtigen würden. Und wenn Sie sich auf schnell abnehmende Funktionen beschränken, wird Ihre Metrik an der Grenze degeneriert.

Kyle

Nun, zum Beispiel könnten Sie die Metrik schreiben

g_{μ ν} = η_{μ ν} + h_{μ ν}

$g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$ mit

h_{μ ν}

$h_{\mu \nu}$ nicht unbedingt eine Störung, die im Unendlichen schnell genug abfällt. Dann gewissermaßen

{\tilde{η}}_{μ ν} = d i a g {- δ (k), δ (k), δ (k), δ (k)}

$\tilde{\eta}_{\mu \nu} = diag\{-\delta(k),\delta(k),\delta(k),\delta(k)\}$ . Und dann studieren

{\tilde{h}}_{μ ν}

$\tilde{h}_{\mu \nu}$ . Oder Sie könnten sagen, schauen Sie sich zum Beispiel Metriken für Verteiler mit toroidaler Topologie an ...

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Kyle

MBN

R. Rankin

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Kyle

Eric Zalow

Kyle

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