Anwendung der Analysis in der Physik

Es stimmt zwar, dass einige Teile der Physik diskret sind; Materie, Energie, Ladung usw. Es gibt viele andere, die es sindkontinuierlich. Entfernungen, Zeit, Temperatur, Wahrscheinlichkeit und Winkel sind nur einige Beispiele für kontinuierliche Größen. Obwohl Dinge wie Energie für ein System "diskret" sind, ist die kleinste Energieeinheit nicht für alles gleich. Wenn Sie Systeme mit vielen verschiedenen Komponenten haben, die alle unterschiedliche kleinste Energieeinheiten haben, werden Ihre möglichen Energiewerte kontinuierlich oder eine enge Annäherung daran. Selbst wenn wir einen einzelnen Partikeltyp mit einer festgelegten kleinsten (Grundzustands-) Energie betrachten, nähert sich der Abstand zwischen jedem Energiezustand auf makroskopischer Ebene und / oder bei extrem hohen Energieniveaus 0, was bedeutet, dass dies in jeder Hinsicht der Fall ist und Zwecke kontinuierlich.

Aber lassen Sie mich nicht den Eindruck erwecken, dass wir Physiker einfach nur wahllos mit Kalkülen um uns werfen. Wir verwenden es nur, wenn es auch einen Grund gibt. Wenn wir wissen, dass etwas diskret ist, können wir nicht einfach darüber integrieren. Wenn wir eine diskrete Funktion haben (sagen wir von Energie), könnten wir so etwas versuchen:

Und dabei wird es bleiben. Wenn wir jedoch (wie in den meisten Fällen) feststellen, dass sich N nähert$\infty$Und$(E_{i+1}-E_i)=\Delta E_i$Ansätze$0$, dann wird unsere Summe:

Aber zurück zum Thema, wir "nehmen" niemals an, dass Werte kontinuierlich sind. Wir können immer angeben, warum wir Kalkül verwenden; warum wir wissen, dass die Dinge kontinuierlich sind. Ich verstehe, dass aus einer nicht-physikalischen Perspektive viel von der Mathematik, die wir tun, und von den Dingen, die wir behaupten, manchmal frustrierend und scheinbar empörend, ungeheuerlich und/oder ignorant sein kann. Glauben Sie mir, manchmal schaue ich mir die Arbeit anderer Physiker an und denke dasselbe. Aber was Sie tun sollten, ist herauszufinden, wie sie zu diesem Ergebnis gekommen sind, und ihre Arbeit durchgehen, wenn Sie können. Meistens werden Sie feststellen, dass Sie mit der Art und Weise, wie wir Dinge tun, einverstanden sind. Calculus ist ein sehr nützliches Werkzeug, das unserer Meinung nach anwendbar ist und viele Aspekte der Funktionsweise richtig erklärt. Während es für einen Außenstehenden widersprüchlich erscheinen mag, dass wir behaupten, dass einige Dinge manchmal getrennt sind, und dann behaupten wir, dass es Differenzen davon gibt, wir haben immer noch sehr gute Gründe für all das. Und wir wären bereit, konkrete Beispiele zu erläutern. Aber kann man am Ende wirklich mit den Ergebnissen streiten?

Erstens ist mir nicht bewusst, dass „alle Materie- und Energieformen“, was auch immer das bedeutet, diskret sind.

Zunächst einmal ist Energie eine konservierte Größe, die aus der Zeittranslationsinvarianz physikalischer Systeme stammt. Sie ist weder „etwas“ noch kann „sie“ eine „Form“ haben. Wenn Sie sich auf Dinge wie kinetische vs. potenzielle Energie beziehen, können Sie sagen, dass sie es ist eine bequeme Aufteilung, obwohl das wichtigste Konzept die Gesamtenergie ist. Wie auch immer, wir können von Dispersionsbeziehungen physikalischer Systeme sprechen, dh die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie, soweit die meisten physikalischen Theorien gehen, sind sie für freie Teilchen genau kontinuierlich.

Außerdem sind viele (lesen Sie die MEISTEN) Größen, die mir bekannt sind, zumindest die meiste Zeit in den meisten physikalischen Systemen kontinuierlich. Denken Sie an Position, Zeit und Geschwindigkeit. Können Sie sich einen guten Grund dafür vorstellen, dass einer von ihnen diskret ist?

Wenn wir schließlich von physikalischen Systemen sprechen, müssen wir auch von den Modellen sprechen, die wir verwenden, um sie zu verstehen. Meistens wollen wir Dinge modellieren, die für uns sind, weil:

1) Entweder sind sie standardmäßig stetig, das ist der Fall der oben erwähnten kinematischen Größen. Es gibt Situationen, in denen sie sich als nicht mehr erweisen, aber Sie gehen nicht im Voraus davon aus, dass dies nicht der Fall ist.

2) Sie scheinen kontinuierlich zu sein, weil wir sie in einem Maßstab sehen wollen, in dem wir die eine Einheit dieses Dings nicht wirklich unterscheiden können. Es ist der Fall der Teilchenzahl, wenn wir von einem klassischen Gas sprechen.

Wenn wir von quantenmechanischen Systemen sprechen, erzwingen wir nicht, dass keine der beiden Größen a priori diskret ist. Wir lassen alles „kompatibel“ sein und kalkulieren den konkreten Fall, den wir wollen. Wenn wir uns mit gebundenen Zuständen beschäftigen, stellen wir fest, dass wir in diesem Fall ein diskretes Energiespektrum haben.

Noch in der Quantenmechanik, wir haben kein Problem damit, von Wellenfunktionen in Begriffen von „quasi-kontinuierlichen“ Feldern zu sprechen.

In jedem Fall, sogar in der Quantenmechanik, stammt die Diskretisierung der Energie für gebundene Zustände aus der Lösung einer PDE und kommt somit vollständig aus der Differentialrechnung.

Über die Gültigkeit, etwas als kontinuierliche Größe zu behandeln oder nicht. Wenn Sie eine Theorie in der Physik erstellen, benötigen Sie eine mathematische Struktur, die Ihr physikalisches System darstellt, und ein „Wörterbuch“, das die Vorhersagen Ihrer Mathematik in Dinge übersetzt, die Sie in Ihrem Labor überprüfen können.

Der erste Schritt ist (oder sollte es sein), einen mathematischen Rahmen zu schaffen, der konsistent ist, dh alles ist „korrekt definiert“ und es gibt kein (mathematisches) Paradoxon, das hinter den Kulissen lauert.

Wenn Sie diesen Schritt bestehen, müssen Sie Ihre Vorhersagen mit Experimenten konfrontieren. Die meisten der erfolgreichen physikalischen Theorien haben zumindest einige Bereiche, in denen sie mit vielen Experimenten übereinstimmen, und andere Bereiche, in denen sie kläglich oder nicht versagen. Und in einem dritten Fall gibt es immer eine Klasse von Experimenten, mit denen sie einfach nicht umzugehen wissen.

Beispiele:

1) Klassische Mechanik von Teilchen und makroskopischen Körpern: Die meisten Ihrer alltäglichen Objekte lassen sich durch diese Art von Herangehensweise ziemlich gut beschreiben. Diese Art der Argumentation versagt, sobald man auf sehr kleine Skalen (< 1 Mikrometer), sehr große Skalen (> planetarisch) oder sehr schnelle Geschwindigkeiten (> 1% von c) geht.

2) Allgemeine Relativitätstheorie: Soweit ich weiß, ist sie die beste Gravitationstheorie, die wir heute haben. Es beschreibt fantastisch gut die Schwerkraft im Maßstab von Planeten und Sonnensystemen. Es gibt keine verifizierbare Vorhersage in sehr kleinen (jemand korrigiert mich, wenn ich falsch liege), dh ~ Mikrometerskalen und darunter, und kämpft darum, in sehr großen Skalen, galaktischen und kosmologischen Skalen, bei denen Sie zusätzliche Zutaten einbeziehen müssen, von selbst zu bleiben wie dunkle Materie und dunkle Energie, um zu den Beobachtungsdaten zu passen.

3) Quantenmechanik: Funktioniert sehr gut im ~-nm-Maßstab und hat eine gute Vorhersage in oberen Skalen, obwohl nicht alles über den Übergang von Quanten zu Klassik vollständig klar ist. Es hat einfach keine Vorhersage der Schwerkraft (oder einer anderen Wechselwirkung im Übrigen), und daher können Sie QM nicht verwenden, um beispielsweise das Verhalten der Planeten vorherzusagen. Wenn Sie es jedoch mit Coulumb-Wechselwirkungen füttern, haben Sie eine gute Übereinstimmung auf atomarer und molekularer Ebene.

Schließlich und am wichtigsten verwenden all diese Theorien die Infinitesimalrechnung und viele andere mathematische Werkzeuge, intrinsisch und während der gesamten Behandlung, die sie durchführen.

Es liegt also nicht daran, dass einige Größen nicht kontinuierlich sind, dass wir sie nicht berechnen können, wir können sie nur nicht naiv anwenden.

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