Gleichgewicht und die Ableitung der potentiellen Energie

Wenn Sie eine Kraft haben [in 1D - die Verallgemeinerung in 3D ist einfach, aber Sie brauchen Vektorrechnung]$F(x)$was konservativ ist, dann ist die potentielle Energie definiert als

$$V(x) = - \int _{x_0}^{x} F(x')dx'$$ Wo$x_0$ist ein willkürlicher Ausgangspunkt.

Dies bedeutet, dass Sie nach dem Fundamentalsatz der Analysis das Integral "eliminieren" können, indem Sie die Ableitung des Potentials bilden

$${dV \over dx} = -F(x)$$

also die Bedingung, dass die Ableitung der Energie ist$0$bedeutet

$${dV\over dx} = 0 = F(x)$$ was bedeutet, dass die Gesamtkraft, die auf Ihre Masse wirkt, ist$F(x)=0$dh die Masse befindet sich im Gleichgewicht (es wirken keine Kräfte).

Wenn Sie sich dann fragen, ob das Gleichgewicht stabil ist (dh wenn Sie sich ein wenig bewegen, kommen Sie wieder zum Ausgangspunkt zurück), dann müssen Sie sich die zweite Ableitung der potentiellen Energie ansehen . Weitere Einzelheiten können Sie hier überprüfen .

Arbeit wird definiert als$F\times d$. Wenn Ihre Kraft variiert, dann$W = \int F \cdot dx$, und Sie können ein Integral als Summe vieler winziger Längen interpretieren. Arbeit erhöht die Energie. Wenn eine Kraft wie die Schwerkraft wirkt, erhöht sie die kinetische Energie, indem sie potenzielle Energie verliert, da die Gesamtenergie erhalten bleibt.

Wenn Sie sich einen Hügel vorstellen, sagt Ihnen die Steigung des Hügels, wie viel Kraft Sie bergab drückt. Hügel sind nützliche Analogien, da die Höhe eines Hügels linear proportional zu seiner potenziellen Energie ist.