Klassische Punktteilchen zu klassischen Feldern

Obwohl ich nicht 100% sicher bin, was Sie fragen, glaube ich, dass Sie davon sprechen, ein Gitter diskreter Punkte zu betrachten und die kontinuierliche Grenze so zu nehmen, dass der Abstand zwischen den Gitterpunkten gegen Null tendiert.

Das einfachste Beispiel ist die Betrachtung eines 1-dimensionalen elastischen Stabes mit Massendichte$\mu$. Die aufgrund des Elastizitätsmoduls darauf ausgeübte Kraft ist gegeben durch:

$$\begin{equation} F = -Y \xi \end{equation}$$ Wo $\xi$bezeichnet die Auslenkung des elastischen Stabes aus seiner Gleichgewichtslage. Wir können uns den Stab als eine unendliche Menge von Teilchen mit gleichem Abstand vorstellen, die ruhen, wo wir es zulassen werden $m$bezeichnen die Masse jedes Teilchens (die natürlich für jedes Teilchen gleich ist) und wir lassen $a$bezeichnet den Abstand zwischen den Teilchen. Nun können wir die Massendichte wie folgt schreiben: $$\begin{equation} \mu = \frac{dm}{dx} = \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{m}{a} \end{equation}$$

Nun gehen wir davon aus, dass jedes Teilchen nur mit seinen nächsten Nachbarn wechselwirkt, und so kann die Kraft zwischen den Teilchen angenähert werden, indem das Hookesche Gesetz verwendet wird:

$$\begin{equation} F = - \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right) = - \left( \kappa a \right) \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ Darüber hinaus wird die Kraft, die als Elastizitätsmodul ausgedrückt wird, in Bezug auf den relativen Abstand geschrieben $a$: $$\begin{equation} F = - Y \frac{y_{i+1}-y_i}{a} \end{equation}$$ wir können schreiben: $$\begin{equation} Y= \displaystyle\lim_{a\to 0} \left(\kappa a \right) \end{equation}$$ Zusammenfassend haben wir die Hookesche Konstante mit dem Elastizitätsmodul in Beziehung gesetzt.

Darüber hinaus können wir mit gewöhnlicher klassischer Mechanik die potentiellen Energien in allen Federn schreiben als:

$$\begin{equation} V= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \Delta y_i^2 = \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \end{equation}$$ und die kinetische Energie aller Teilchen ist gegeben durch: $$\begin{equation} T= \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \end{equation}$$ Daher ist die Lagrange-Funktion des Systems gegeben durch: $$\begin{equation} L=T-V = \sum\limits_{i}\left[ \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 - \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right] \end{equation}$$ Unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung können wir leicht die Bewegungsgleichungen für jedes Teilchen finden $j$im diskretisierten Stab: $$\begin{equation} \frac{\partial L}{\partial y_k} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_k} \right) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial }{\partial y_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} \kappa \left(y_{i+1}-y_i\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \sum\limits_{i} \frac{1}{2} m \dot{y}_i^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow \frac{\partial}{\partial y_k} \left( \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right)^2 + \frac{1}{2} \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right)^2 \right) + \frac{d}{dt} \left[ \frac{\partial }{\partial \dot{y}_k} \left( \frac{1}{2} m \dot{y}_k^2 \right) \right] = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left(y_{k+1}-y_k\right) + \kappa \left(y_{k}-y_{k-1}\right) + m \ddot{y}_k = 0 \end{equation}$$ Betrachten wir nun die Grenze, dass der Abstand im diskretisierten Stab gegen Null geht: $$\begin{align} y_k(t) & \rightarrow y(x,t) \\ y_{k+1}(t) & \rightarrow y(x+a,t) \\ y_{k-1}(t) & \rightarrow y(x-a,t) \\ y_{k+2}(t) & \rightarrow y(x+2a,t) \\ y_{k-2}(t) & \rightarrow y(x-2a,t) \\ & \dots \end{align}$$ Die Bewegungsgleichungen können nun geschrieben werden als: $$\begin{equation} - \kappa \left[ y(x+a,t) - y(x,t) - y(x,t) + y(x-a,t) \right] + m \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \kappa \left[ \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} - \frac{y(x,t) - y(x-a,t)}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Rightarrow - \left( \kappa a \right) \left[ \frac{\left(y(x+a,t) - y(x,t)\right)/a}{a} - \frac{\left(y(x,t) - y(x-a,t)\right)/a}{a} \right] + \frac{m}{a} \ddot{y}(x,t) = 0 \end{equation}$$ Die Grenze nehmen $a \rightarrow 0$, wir können schreiben: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - y(x,t)}{a} = \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} \end{equation}$$ Und: $$\begin{equation} \displaystyle\lim_{a\to 0} \frac{y(x+a,t) - 2y(x,t) + y(x-a,t)}{a^2} = \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} \end{equation}$$ Damit erhalten wir die Bewegungsgleichungen für die Schwingung des Feldes $y(x,t)$: $$\begin{equation} -Y \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} + \mu \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} = 0 \end{equation}$$

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Beispielsweise gibt es Versuche, die Hydrodynamik aus der kinetischen Theorie der Moleküle abzuleiten. Ich weiß nicht viel über Details, aber es hat mit Mittelung, Glättung und Wahrscheinlichkeitsannahmen zu tun. Man kann zum Beispiel damit beginnen$N-$Partikelverteilungsfunktion, die die Liouville-Gleichung (Partikelbeschreibung) erfüllt und unter bestimmten Annahmen und nach vielen komplizierten Schritten neue Gleichungen für Feldgrößen wie Dichte oder Geschwindigkeitsfeld ableiten, die die Partikel probabilistisch beschreiben.

Sie können einen Blick darauf werfen, worum es in R. Balescu geht: Statistische Dynamik, Materie aus dem Gleichgewicht, Imperial College Presss, 1997.