Eine Perle, die mit Reibung auf einem flexiblen Draht gleitet [geschlossen]

Question

Eine Perle, die mit Reibung auf einem flexiblen Draht gleitet [geschlossen]

KevinKajaks

Problemstellung:

Ich möchte folgende Konfiguration modellieren:

Hier eine Masseperle $m$ gleitet unter Spannung an einem Draht herunter. Der Draht hat Dichte $\rho$ . Die Perle erfährt Reibung proportional zu ihrer Geschwindigkeit $v$ entlang des Drahtes. Ich möchte die Geschwindigkeit der Perle durch die Zeit beschreiben.

Große Spannungsgrenze:

Wenn die Spannung im Draht sehr groß ist, entkoppelt sich die Dynamik der Perle von der des Drahtes, und die Bewegung der Perle wäre genau wie ein Block auf einer Ebene mit geschwindigkeitsabhängiger Reibung (nach Annahme nicht Coulomb-Reibung). ). In Koordinaten entlang des Drahtes,

M \dot{v} = - γ v + M G Sünde θ,

$m \dot{v} = - \gamma v + mg \sin\theta,$ so nähert sich die Geschwindigkeit

m g / γ \sin θ

$mg/\gamma\sin\theta$ :

v (T) = v_{0} e^{- γ T / M} + \frac{M G Sünde θ}{γ} (1 - e^{- γ T / M}) .

$v(t) = v_0 e^{-\gamma t/m} + \frac{m g \sin\theta}{\gamma}(1-e^{-\gamma t/m}).$

Mittlere Spannung:

Wenn die Spannung nicht zu viel größer ist als $mg$ , wird der Draht durch die Masse verformt, sodass er nicht mehr geradlinig gleitet. Hier wird das Problem herausfordernd und ich habe Probleme, die maßgeblichen Gleichungen aufzustellen. Ich glaube, die Gleichung des Drahtes ist so etwas wie

ρ \frac{\partial^{2} ψ}{\partial T^{2}} = T \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + ρ G + M G δ (X - X_{P} (T))

$\rho \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\rho g + m g \delta(x-x_p(t))$

Allerdings sind die Teilchenkoordinaten nun sehr kompliziert zu beschreiben. Ich glaube, der bequemste Weg wäre, sie in den Koordinaten zu beschreiben, die durch die Form des Drahtes definiert sind, um die große Spannungsgrenze nachzuahmen, aber es ist mir nicht klar, wie das genau geht.

Wenn jemand eine Anleitung geben könnte, ob meine Gleichung für die Saite korrekt ist und wie man die Bewegungsgleichungen für das Teilchen aufstellt, wäre ich sehr dankbar!

Bearbeiten:

In Abwesenheit von Reibung ist die Lagrange-Funktion für das Teilchen

L = \frac{M}{2} ({\dot{X}}^{2} [1 + ψ_{X}^{2}] + 2 \dot{X} ψ_{X} ψ_{T} + ψ_{T}^{2}) - M G ψ (X, T) .

$\mathcal{L} = \frac{m}{2}\Big(\dot{x}^2\big[1+\psi_x^2\big]+2\dot{x}\psi_x \psi_t + \psi_t^2 \Big) - m g \psi(x,t).$ Dies ergibt die folgende Bewegungsgleichung für das an die Schnur gebundene Teilchen (obwohl es einige kleine Fehler geben kann):

\ddot{X} [1 + ψ_{X}^{2}] + 2 \dot{X} (ψ_{X} [ψ_{X} \dot{X} + ψ_{T}] + ψ_{T} [ψ_{X X} \dot{X} + ψ_{X T}] + ψ_{X} [ψ_{X T} \dot{X} + ψ_{T T}]) = ψ_{X} {\dot{X}}^{2} + \dot{X} [ψ_{X X} ψ_{T} + ψ_{X} ψ_{X T}] + ψ_{T} ψ_{X X} - G ψ_{X} .

$\ddot{x}[1+\psi_x^2] + 2 \dot{x}\big(\psi_x[\psi_x \dot{x} + \psi_t] + \psi_t[\psi_{xx}\dot{x}+\psi_{xt}] + \psi_x[\psi_{xt}\dot{x}+\psi_{tt}]\big) = \psi_x \dot{x}^2 + \dot{x}[\psi_{xx}\psi_t + \psi_x \psi_{xt}] + \psi_t \psi_{xx} - g\psi_x.$ Dies sollte in Verbindung mit der obigen Gleichung für getriebene Wellen gelöst werden, um die Dynamik zu beschreiben. Vielleicht kann man einige Terme für kleine Verschiebungen vernachlässigen, um eine Näherungslösung abzuleiten?

Johannes Jäger

Sind Sie sicher, dass die erste Formel in Ordnung ist? Der Reibungsbegriff für etwas, das eine Ebene hinunterrutscht, hängt normalerweise nicht von der Geschwindigkeit ab ...

KevinKajaks

Ja, es ist eher ein geschwindigkeitsabhängiger Widerstand als eine Coulomb-Reibung. Ich suchte nach der Dynamik, um eine Endgeschwindigkeit zu haben. Unabhängig davon wäre es einfach genug, das Problem später zu modifizieren, wenn ich sicher wäre, wie ich die Partikeldynamik formulieren soll

gs

Ich würde vorschlagen, y = f ( x ) zu finden und dann die Energieerhaltung zu verwenden, wobei die Änderung der potenziellen Gravitationsenergie der durch Reibung geleisteten Arbeit plus der Änderung der kinetischen Energie entsprechen muss. Ich stimme John Hunter zu, dass die Reibungskraft wahrscheinlich nicht geschwindigkeitsabhängig sein sollte.

KevinKajaks

An einer geschwindigkeitsabhängigen Widerstandskraft ist nichts auszusetzen. Es soll die Tatsache darstellen, dass der Widerstand tatsächlich darauf zurückzuführen ist, dass die Perle das Seil "begradigt", wenn es darüber läuft. Es ist kein Block in einem Flugzeug. Energieerhaltung scheint ein guter Ansatz zu sein, wenn auch nicht einfach, da man über die Saite integrieren muss, die eine unbekannte und sich ändernde Form hat.

gs

Ich könnte mich irren, aber ich denke, Sie können mit der Annahme beginnen, dass der Fall T = 0 dieselbe y = f (x) -Kurve hat wie der Fall T> 0. Dann, sobald Sie y = f(x) haben, haben Sie

m g Δ y = E (x) = T (x) + \int F_{f r i c t i o n} (x) d x

$mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Löse nach T(x). Dann

v (x) = d x / d t = \sqrt{2 T (x) / m}

$v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Integrieren Sie beide Seiten von

d t = d x / v

$dt=dx/v$ Um t = f(x) zu erhalten, lösen Sie nach x=f(t) und nehmen Sie die Ableitung, um zu erhalten

d x / d t = f^{'} (t)

$dx/dt = f'(t)$

gs

Wenden Sie zuletzt natürlich y=f(x) an, um dy/dt für den Rest des Geschwindigkeitsvektors zu erhalten.

gs

warte, nein, eigentlich

v (x) = \sqrt{(d x / d t)^{2} + (d y / d t)^{2}}

$v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Aber da Sie y=f(x) kennen, sollten Sie zumindest in der Lage sein, v(x) = f(dx/dt) zu erhalten und von dort aus zu arbeiten.

ytlu

@gs Die Zeichenfolgenfunktion

y = f (x)

$y=f(x)$ wird auch verändert, wenn der Wulst rutscht:

y (x, t) = ψ (x, t)

$y(x, t)=\psi(x,t)$ , im Text definiert.

gs

@ytlu Ich meinte, dass (x,y) die Position der Perle ist, nicht die Konfiguration der Saite.

ytlu

@G

m g Δ y \neq T (x) + . .

$mg\Delta y \ne T(x) + ..$ und es gibt keine Möglichkeit zu wissen

y (x, t) = f (x (t))

$y(x,t) = f(x(t))$ .

ytlu

Könnte die nach unten gleitende Perle eine Wellenausbreitung entlang der Saite erzeugen? oder einfach eine Biegung an der Position der Sicke in Betracht ziehen?

KevinKajaks

genau @ytlu, ja, könnte es. Man muss die Newtonsche Dynamik der Perle in Verbindung mit der Antriebswellengleichung für die Saite lösen. Die Verschiebung der Saite könnte aus dem Problem eliminiert werden, aber im Allgemeinen gibt es eine komplexe Dissipation, die von der Dynamik der Saite herrührt. Es ist daher meiner Meinung nach nicht klar, wie man die Energieeinsparung anwendet.

ytlu

@kevinkayaks Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Wollen Sie eine kleine Amplitudengrenze annehmen, und daher ist die Verschiebung der Saite vernachlässigbar? übrig blieb nur eine Energiedissipation der Welle über die

m g δ (x - x_{p})

$mg \delta(x-x_p)$ in der Wellensaitengleichung? Aber es gibt eine offensichtliche Krümmung der Saite an der Position von

x_{p} (t)

$x_p(t)$ . Dies scheint Ihrer Eliminierung der Verschiebung der Saite zu widersprechen.

KevinKajaks

Mit eliminieren meine ich, dass man die Teilchendynamik so schreiben können sollte

{\ddot{x}}_{p} (t) = F (x_{p}, {\dot{x}}_{p}, ψ (x))

$\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , drücken Sie dann die Saitendynamik aus einer getriebenen Wellengleichung wie oben aus und lösen Sie dann vielleicht die Wellengleichung für willkürlich

x_{p}

$x_p$ und stecken Sie seine Lösung

ψ

$\psi$ (parametrisiert durch

x_{p}

$x_p$ in die Partikeldynamikgleichung ein, was ein komplexes Newtonsches Gesetz für die Partikeldynamik ergibt, das die Saite nicht explizit enthält. Das ist jedenfalls meine Idee. Die Saite sollte sich trotzdem bewegen und Energie aus der Partikelbewegung ableiten.

Eli

y(x) beschreibt hängende Kette ? cosh-Funktion

KevinKajaks

y (x)

$y(x)$ wäre eine Parabel Eli, wenn die Perle nicht vorhanden wäre und die Saite im Gleichgewicht wäre

Johannes Jäger

@kevinkayaks Energieerhaltung wäre wahrscheinlich am besten, wie von @gs erwähnt. Fügen Sie Begriffe für die Verlängerung des Drahtes hinzu

E = 0.5 k x^{2}

$E=0.5kx^2$ , Wo

x

$x$ ist Dehnung, durch Reibung erzeugte Wärme

F d

$Fd$ Wo

d

$d$ ist die entlang des Drahtes zurückgelegte Strecke und die Änderung von GPE, und dann können Sie die Zunahme von KE und damit die Geschwindigkeit ermitteln

KevinKajaks

Die zurückgelegte Strecke hängt von der Form der Saite ab, die Saite trägt kinetische Energie, die durch Reibung geleistete Arbeit nicht

F d

$F d$ weil die Reibung geschwindigkeitsabhängig ist, nicht Coulomb, und es keine eindeutige Teilchengeschwindigkeit als Funktion der Zeit gibt, ohne auch die Dynamik der Saite einzuschränken, um ihre Wirkung zu minimieren

KevinKajaks

Es ist sehr seltsam, diese Frage als "Hausaufgabenproblem" zu bezeichnen. Dies ist keine Perle auf einem starren Draht wie in der einführenden Mechanik. Ich schlage vor, wer auch immer zu schließen gestimmt hat, um das Problem tatsächlich zu versuchen.

Biophysiker

@kevinkayaks Dies wurde nicht geschlossen, weil Benutzer dachten, es sei wie das starre Drahtgehäuse, noch weil Benutzer es für trivial hielten. PSE ist keine Seite, die Probleme löst, unabhängig von der Schwierigkeit des Problems. Ich schlage vor, die Links im Schließen-Banner zu lesen; Sie sollten die Dinge klarer machen.

KevinKajaks

@BioPhysicist das ist 'interessant'. physical.stackexchange.com/questions/509358/… , Physics.stackexchange.com /questions/459221/… , Physics.stackexchange.com /questions/514142/… , Physics.stackexchange.com /questions/580088/…

Biophysiker

@kevinkayaks Wenn Sie der Meinung sind, dass diese Fragen geschlossen werden sollten, können Sie sie als solche kennzeichnen :)

Antworten (1)

Eine Perle, die mit Reibung auf einem flexiblen Draht gleitet [geschlossen]

Sind Sie sicher, dass die erste Formel in Ordnung ist? Der Reibungsbegriff für etwas, das eine Ebene hinunterrutscht, hängt normalerweise nicht von der Geschwindigkeit ab ...
Ja, es ist eher ein geschwindigkeitsabhängiger Widerstand als eine Coulomb-Reibung. Ich suchte nach der Dynamik, um eine Endgeschwindigkeit zu haben. Unabhängig davon wäre es einfach genug, das Problem später zu modifizieren, wenn ich sicher wäre, wie ich die Partikeldynamik formulieren soll
Ich würde vorschlagen, y = f ( x ) zu finden und dann die Energieerhaltung zu verwenden, wobei die Änderung der potenziellen Gravitationsenergie der durch Reibung geleisteten Arbeit plus der Änderung der kinetischen Energie entsprechen muss. Ich stimme John Hunter zu, dass die Reibungskraft wahrscheinlich nicht geschwindigkeitsabhängig sein sollte.
An einer geschwindigkeitsabhängigen Widerstandskraft ist nichts auszusetzen. Es soll die Tatsache darstellen, dass der Widerstand tatsächlich darauf zurückzuführen ist, dass die Perle das Seil "begradigt", wenn es darüber läuft. Es ist kein Block in einem Flugzeug. Energieerhaltung scheint ein guter Ansatz zu sein, wenn auch nicht einfach, da man über die Saite integrieren muss, die eine unbekannte und sich ändernde Form hat.
Ich könnte mich irren, aber ich denke, Sie können mit der Annahme beginnen, dass der Fall T = 0 dieselbe y = f (x) -Kurve hat wie der Fall T> 0. Dann, sobald Sie y = f(x) haben, haben Sie $mg\Delta y = E(x) = T(x)+\int F_{friction}(x) dx$ . Löse nach T(x). Dann $v(x) = dx/dt = \sqrt{2T(x)/m}$ . Integrieren Sie beide Seiten von $dt=dx/v$ Um t = f(x) zu erhalten, lösen Sie nach x=f(t) und nehmen Sie die Ableitung, um zu erhalten $dx/dt = f'(t)$
Wenden Sie zuletzt natürlich y=f(x) an, um dy/dt für den Rest des Geschwindigkeitsvektors zu erhalten.
warte, nein, eigentlich $v(x) = \sqrt {(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2}$ . Aber da Sie y=f(x) kennen, sollten Sie zumindest in der Lage sein, v(x) = f(dx/dt) zu erhalten und von dort aus zu arbeiten.
@gs Die Zeichenfolgenfunktion $y=f(x)$ wird auch verändert, wenn der Wulst rutscht: $y(x, t)=\psi(x,t)$ , im Text definiert.
@ytlu Ich meinte, dass (x,y) die Position der Perle ist, nicht die Konfiguration der Saite.
@G $mg\Delta y \ne T(x) + ..$ und es gibt keine Möglichkeit zu wissen $y(x,t) = f(x(t))$ .
Könnte die nach unten gleitende Perle eine Wellenausbreitung entlang der Saite erzeugen? oder einfach eine Biegung an der Position der Sicke in Betracht ziehen?
genau @ytlu, ja, könnte es. Man muss die Newtonsche Dynamik der Perle in Verbindung mit der Antriebswellengleichung für die Saite lösen. Die Verschiebung der Saite könnte aus dem Problem eliminiert werden, aber im Allgemeinen gibt es eine komplexe Dissipation, die von der Dynamik der Saite herrührt. Es ist daher meiner Meinung nach nicht klar, wie man die Energieeinsparung anwendet.
@kevinkayaks Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Wollen Sie eine kleine Amplitudengrenze annehmen, und daher ist die Verschiebung der Saite vernachlässigbar? übrig blieb nur eine Energiedissipation der Welle über die $mg \delta(x-x_p)$ in der Wellensaitengleichung? Aber es gibt eine offensichtliche Krümmung der Saite an der Position von $x_p(t)$ . Dies scheint Ihrer Eliminierung der Verschiebung der Saite zu widersprechen.
Mit eliminieren meine ich, dass man die Teilchendynamik so schreiben können sollte $\ddot{x}_p(t) = F(x_p,\dot{x}_p,\psi(x))$ , drücken Sie dann die Saitendynamik aus einer getriebenen Wellengleichung wie oben aus und lösen Sie dann vielleicht die Wellengleichung für willkürlich $x_p$ und stecken Sie seine Lösung $\psi$ (parametrisiert durch $x_p$ in die Partikeldynamikgleichung ein, was ein komplexes Newtonsches Gesetz für die Partikeldynamik ergibt, das die Saite nicht explizit enthält. Das ist jedenfalls meine Idee. Die Saite sollte sich trotzdem bewegen und Energie aus der Partikelbewegung ableiten.
$y(x)$ wäre eine Parabel Eli, wenn die Perle nicht vorhanden wäre und die Saite im Gleichgewicht wäre
@kevinkayaks Energieerhaltung wäre wahrscheinlich am besten, wie von @gs erwähnt. Fügen Sie Begriffe für die Verlängerung des Drahtes hinzu $E=0.5kx^2$ , Wo $x$ ist Dehnung, durch Reibung erzeugte Wärme $Fd$ Wo $d$ ist die entlang des Drahtes zurückgelegte Strecke und die Änderung von GPE, und dann können Sie die Zunahme von KE und damit die Geschwindigkeit ermitteln
Die zurückgelegte Strecke hängt von der Form der Saite ab, die Saite trägt kinetische Energie, die durch Reibung geleistete Arbeit nicht $F d$ weil die Reibung geschwindigkeitsabhängig ist, nicht Coulomb, und es keine eindeutige Teilchengeschwindigkeit als Funktion der Zeit gibt, ohne auch die Dynamik der Saite einzuschränken, um ihre Wirkung zu minimieren
Es ist sehr seltsam, diese Frage als "Hausaufgabenproblem" zu bezeichnen. Dies ist keine Perle auf einem starren Draht wie in der einführenden Mechanik. Ich schlage vor, wer auch immer zu schließen gestimmt hat, um das Problem tatsächlich zu versuchen.
@kevinkayaks Dies wurde nicht geschlossen, weil Benutzer dachten, es sei wie das starre Drahtgehäuse, noch weil Benutzer es für trivial hielten. PSE ist keine Seite, die Probleme löst, unabhängig von der Schwierigkeit des Problems. Ich schlage vor, die Links im Schließen-Banner zu lesen; Sie sollten die Dinge klarer machen.
@BioPhysicist das ist 'interessant'. physical.stackexchange.com/questions/509358/… , Physics.stackexchange.com /questions/459221/… , Physics.stackexchange.com /questions/514142/… , Physics.stackexchange.com /questions/580088/…
@kevinkayaks Wenn Sie der Meinung sind, dass diese Fragen geschlossen werden sollten, können Sie sie als solche kennzeichnen :)

ytlu · Answer 1

Ich schlage ein Schema vor - quasi-statische Annäherung, indem ich annehme, dass die Schnur immer in einer statischen Lösung bleibt, wenn sich die Perle bewegt. Lassen Sie mich mit der Beschreibung der Saite ohne Perle beginnen.

ρ \frac{\partial^{2} j (X, T)}{\partial T^{2}} = T \frac{\partial^{2} j (X, T)}{\partial X^{2}} - ρ G .

$\rho \frac{\partial^2 y(x, t)}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g.$ Für eine statische Lösung

\frac{\partial y (x)}{\partial t} = 0

$\frac{\partial y(x)}{\partial t} = 0$ , ist die Lösung für gegebene zwei Randbedingungen eine quadratische Funktion

y (x_{1}) = y_{1}

$y(x_1) = y_1$ , Und

y (x_{2}) = y_{2}

$y(x_2) = y_2$ :

\begin{aligned} (1) & j (X) & = \frac{G}{2 v^{2}} X^{2} + A X + B . \\ (2) & A & = \frac{j_{2} - j_{1}}{X_{2} - X_{1}} - \frac{G}{2 v^{2}} (X_{2} + X_{1}); \\ (3) & B & = \frac{j_{1} X_{2} - j_{2} X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{G}{2 v^{2}} X_{1} X_{2} . \end{aligned}

$\begin{align*} y(x) &= \frac{g}{2v^2}x^2 + A x + B.\tag{1}\\ A &= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2 + x_1);\tag{2} \\ B &= \frac{y_1 x_2 - y_2 x_1}{x_2 - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_2.\tag{3} \end{align*}$ Wo

v = \sqrt{\frac{T}{ρ}}

$v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ ist die Saitenwellengeschwindigkeit. Dies liefert uns die Grundfunktion für den nächsten Schritt. Ein Beispiel ist in der folgenden Abbildung mit Parameter angegeben

ρ = 1

$\rho=1$ ,

T = 20

$T=20$ . Eine eher lockere Saite zur klaren Beobachtung der quadratischen Funktion. (Beachten Sie, dass sich dies aufgrund der Annahme einer konstanten Spannung vom Oberleitungsproblem, frei hängendem Seil, unterscheidet.)

Mit diesem Grundwissen fügen wir die Perle an der festen Position hinzu, $x_p$ . Die statische Gleichung:

0 = T \frac{\partial^{2} j (X, T)}{\partial X^{2}} - ρ G - M G δ (X - X_{P}) .

$0 = T \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} -\rho g - mg \delta(x-x_p).$ Wir teilen die Lösung in zwei Bereiche:

\begin{matrix} (4) & j (X) = {\begin{array}{rr} \frac{G}{2 v^{2}} X^{2} + A_{1} X + B_{1} & für X_{1} < X < X_{P} \\ \frac{G}{2 v^{2}} X^{2} + A_{2} X + B_{2} & für X_{P} < X < X_{2} \end{array} \end{matrix}

$y(x) = \Big\{ { \begin{array}{rr} \frac{g}{2v^2} x^2 + A_1 x + B_1 & \text{ for } x_1 < x < x_p \\ \frac{g}{2v^2} x^2 + A_2 x + B_2 & \text{ for } x_p < x < x_2 \end{array} } \tag{4}$

Ähnlich wie Gl.2 und Gl.3, find $A$ s und $B$ s Parameter im Intervall $[x_1, x_p]$ , Und $[x_p, x_2]$ annehmen $y(x_p) = y_p$ .

\begin{aligned} A_{1} & = \frac{j_{P} - j_{1}}{X_{P} - X_{1}} - \frac{G}{2 v^{2}} (X_{P} + X_{1}); \\ B_{1} & = \frac{j_{1} X_{P} - j_{P} X_{1}}{X_{P} - X_{1}} + \frac{G}{2 v^{2}} X_{1} X_{P} . \\ A_{2} & = \frac{j_{2} - j_{P}}{X_{2} - X_{P}} - \frac{G}{2 v^{2}} (X_{P} + X_{2}); \\ B_{2} & = \frac{j_{P} X_{2} - j_{2} X_{P}}{X_{2} - X_{P}} + \frac{G}{2 v^{2}} X_{2} X_{P} . \end{aligned}

$\begin{align*} A_1 &= \frac{y_p - y_1}{x_p - x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_1); \\ B_1 &= \frac{y_1 x_p - y_p x_1}{x_p - x_1} + \frac{g}{2v^2} x_1 x_p.\\ A_2 &= \frac{y_2 - y_p}{x_2 - x_p} - \frac{g}{2v^2} (x_p + x_2); \\ B_2 &= \frac{y_p x_2 - y_2 x_p}{x_2 - x_p} + \frac{g}{2v^2} x_2 x_p. \end{align*}$

Dann gilt die Verbindungsformel bei $x= x_p$

\begin{aligned} {[\frac{\partial j}{\partial X}]}_{X_{P}^{+}} - {[\frac{\partial j}{\partial X}]}_{X_{P}^{-}} & = \frac{M G}{T} \\ (5) & A_{2} - A_{1} & = \frac{M G}{T} \end{aligned}

$\begin{align*} \left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^+} -\left[\frac{\partial y}{\partial x}\right]_{x_p^-} & = \frac{mg}{T}\\ A_2 - A_1 & = \frac{mg}{T} \tag{5}\\ \end{align*}$

Aus Gl.5 finden wir die Funktion $y_p(x_p)$ :

\begin{matrix} (6) & j_{P} (X_{P}) = j_{2} \frac{X_{P} - X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + j_{1} \frac{X_{2} - X_{P}}{X_{2} - X_{1}} - \frac{M G}{T} \frac{(X_{2} - X_{P}) (X_{P} - X_{1})}{X_{2} - X_{1}} - \frac{G}{2 v^{2}} (X_{2} - X_{P}) (X_{P} - X_{1}) \end{matrix}

$y_p(x_p) = y_2\frac{x_p-x_1}{x_2-x_1} +y_1\frac{x_2-x_p}{x_2-x_1} -\frac{mg}{T} \frac{(x_2-x_p)(x_p-x_1)}{x_2-x_1} - \frac{g}{2v^2} (x_2-x_p)(x_p-x_1)\tag{6}$

Die folgende Abbildung zeigt die Gl.4 und Gl.6 für $\rho=1$ , $T=200$ , $m=10$ mit $x_p = 0.7$ Bei großer Spannung ( $200$ ), sind die quadratischen Funktionen in beiden Regionen sehr nahe an linearen Linien.

In dieser Figur sind die Kraftrichtungen markiert: die Spannung $T_1$ , Und $T_2$ in der tangentialen Richtung von Gleichung 4 mit der Unterbrechungsdirektive dazwischen, der Gravitation $mg$ im $-\hat y$ Richtung und Zugkraft $-bv$ in der Tangente von $y_p(x_p)$ . Alle diese Kräfte können zerlegt werden $x$ Und $y$ Komponenten zur Berechnung der Kraft entlang der Tangentiallinie von $y_p(x_p)$ , die die Bewegungsrichtung der Perle ist $m$ .

\begin{array}{llc} Bewegungsrichtung & \hat{T} = \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{D j_{P}}{D X_{P}})}^{2}}} (\hat{X} + \hat{j} \frac{D j_{P}}{D X_{P}}) & Gl.6 \\ Spannung auf & {\vec{T}}_{1} = \frac{T}{\sqrt{1 + {(\frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{-}}^{2}}} {(\hat{X} + \hat{j} \frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{-}} & Gl.4 (a) \\ Spannung runter & {\vec{T}}_{2} = \frac{T}{\sqrt{1 + {(\frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{+}}^{2}}} {(\hat{X} + \hat{j} \frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{+}} & Gl.4 (b) \\ Perlenmasse & {\vec{F}}_{G} = M G \hat{j} \\ Schleppen & {\vec{F}}_{D} = - γ v \hat{T} \end{array}

$\begin{array}{llc} \text{Moving direction} & \hat t = \frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_p}{dx_p}\right)^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy_p}{dx_p}\right)& \text{ Eq.6} \\ \text{Tension up } &\vec T_1= \frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}^2}}\left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-}& \text{ Eq.4 (a)} \\ \text{Tension down } &\vec T_2=\frac{T}{\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+}^2}} \left(\hat x + \hat y\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &\text{ Eq.4 (b)}\\ \text{Bead mass } & \vec F_g = mg \hat y & \\ \text{Dragging } & \vec f_d =-\gamma v \hat t & \\ \end{array}$ Wo

\begin{aligned} \frac{D j_{P}}{D X_{P}} & = \frac{j_{2} - j_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{M G}{T} \frac{2 X_{P} - X_{2} - X_{1}}{X_{2} - X_{1}} + \frac{G}{2 v^{2}} (2 X_{P} - X_{2} - X_{1}); \\ {(\frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{-}} & = \frac{G}{v^{2}} X_{P} + A_{1}; \\ {(\frac{D j}{D X})}_{X_{P}^{+}} & = \frac{G}{v^{2}} X_{P} + A_{2}; \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{dy_p}{dx_p} &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{mg}{T}\frac{2x_p-x_2-x_1}{x_2-x_1} +\frac{g}{2v^2}\left(2x_p - x_2- x_1\right);\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^-} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_1;\\ \left(\frac{dy}{dx}\right)_{x_p^+} &= \frac{g}{v^2} x_p + A_2; \end{align*}$

Schließlich die Bewegungsgleichung für die Perle entlang der $y_p(x_p)$ Kurve:

M \frac{D v}{D T} = - γ v + {\vec{F}}_{G} \cdot \hat{T} - {\vec{T}}_{1} \cdot \hat{T} + {\vec{T}}_{2} \cdot \hat{T} .

$m\frac{dv}{dt} = -\gamma v + \vec F_g \cdot \hat t - \vec T_1 \cdot \hat t + \vec T_2 \cdot \hat t.$ Die Perle ist gezwungen, sich entlang der Curve zu bewegen

y_{p} (x_{p})

$y_p(x_p)$ , daher treten Zwangskräfte in vertikaler Richtung auf

\hat{t}

$\hat t$ , die in der Abbildung nicht dargestellt sind.

Eine Perle, die mit Reibung auf einem flexiblen Draht gleitet [geschlossen]

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