Anzahl der Zerfälle in einer Kettenreaktion

Es ist allgemein bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit von N zerfällt von einem System zum anderen A → B (z. B. Elektronen, die von einem atomaren Energieniveau auf ein anderes zerfallen, oder Myonen, die in Neutrinos und Elektronen zerfallen usw.) in einem bestimmten Zeitraum ist durch eine Poisson-Verteilung gegeben.

Betrachten Sie jedoch die folgende einfache Kettenreaktion

A → λ A B → λ B C

Wo λ ich ist die Zerfallsrate. Bei T = 0 (Anfangszeit) es sind keine Partikel drin B oder C , alle sind dabei A . Die Frage ist, wie man die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen Anzahl von Zerfällen berechnet oder abschätzt A Zu B plus die Anzahl der Zerfälle aus B Zu C in einem bestimmten Zeitraum . Mit anderen Worten, man kann davon ausgehen, dass bei jeder der Reaktionen ein Teilchen, sagen wir ein Photon, emittiert wird, und man möchte die Wahrscheinlichkeit abschätzen, eine bestimmte Anzahl von emittierten Photonen über einen Zeitraum zu erhalten.

Die Wahrscheinlichkeit von N zerfällt ab A Zu B in einer Zeit Δ T muss durch eine Poisson-Verteilung mit mittlerer Anzahl gegeben sein λ A Δ T . Allerdings frage ich mich, welche Wahrscheinlichkeit M zerfällt dazwischen B Und C in einem Zeitraum ist. Ich glaube nicht, dass es einer Poisson-Verteilung folgt, da die Wahrscheinlichkeit des Erhaltens gegeben ist N Zerfälle in einem bestimmten Zeitraum sollten von der Zeit abhängen.

Dies muss bekannt sein, da es Anwendungen in der Kern- (Spaltung), Atom- (spontane Emission) und Teilchenphysik ( π − gehen zu μ − (ausstrahlen v ¯ μ ) gefolgt von Myonzerfall). Und auch in Chemie. Scheint etwas ziemlich Gemeines zu sein.

Referenzen sind willkommen.

NB: Ich frage nicht nach der Verteilung der Partikel in A , B , Und C als Funktion der Zeit.

Ich glaube, es ist eine einfache Faltung der Populationen als Funktion der Zeit mit den Zerfallswahrscheinlichkeiten pro Atom. Ich weiß nicht, ob es eine Lösung in geschlossener Form gibt oder nicht, aber es ist einfach genug, eine große Population nach Monte Carlo zu bringen, um eine nützliche Stichprobe zu erhalten.
@dmckee Danke! Ich kenne Monte Carlo, aber ich suche nach einer genauen oder ungefähren analytischen Lösung. Können Sie Ihren Kommentar zu einer Antwort erweitern? Ich sehe nicht, woher die Faltung kommt. Wie groß ist die "Pro-Atom-Zerfallswahrscheinlichkeit"$?
@dmckee Könnten Sie bitte meine Antwort unten kommentieren?

Antworten (1)

Die Wahrscheinlichkeit zu bekommen N zerfällt in einem Zeitintervall Δ T wird von gegeben

P ( N ) = ∑ M = 0 N P A ( M ) ⋅ P B ( N − M )

Wo P A ( N ) ist eine Poisson-Verteilung mit Mittelwert

λ A ∫ T ich T ich + Δ T N A ( T ' ) D T '
und äquivalent für P B ( N ) . Und N A ( T ) , N B ( T ) sind jeweils die Anzahl der A -Partikel u B -Partikel. Beachten Sie, dass dies die aktuelle Anzahl von Partikeln ist und nicht die von angegebenen Durchschnittszahlen

⟨ N A ( T ) ⟩ = N 0 e − λ A T
⟨ N B ( T ) ⟩ = N 0 λ A λ A − λ B ( e − λ B T − e − λ A T ) ,

wie von dmckee hervorgehoben. Diese Durchschnittswerte können eine vernünftige Annäherung an die aktuellen Werte sein, solange die Populationen groß genug sind.

(Ich habe diese Antwort nicht überprüft, fühlen Sie sich frei zu kritisieren)

Es scheint falsch, weil für T = 0 die Wahrscheinlichkeit ist für alle null N gegeben das N B ( 0 ) = 0
"Anzahl Zahlenteilchen"? Meintest du insgesamt?
Diese bearbeitete Version scheint als Ausgangspunkt gut zu sein, aber um die vollständige Verteilung zu verstehen P ( N ) Sie müssen die Variation von verstehen N A ( T ) Und N B ( T ) Das ist der schwierige Teil des Problems und was ich mit der Konvolvierung mit der Bevölkerung meinte.
@dmckee Was meinst du mit "verstehen"? Die Evolution der Populationen ist durch sehr einfache Differentialgleichungen erster Ordnung gegeben. Die Windungen \int_0^t'f(t')g(tt')dt'
Die Erwartung für die Populationen wird durch diese netten Gleichungen erster Ordnung angegeben, aber in jedem gegebenen Lauf werden die tatsächlichen Populationen variieren, was zur vollen Variation von beiträgt P ( N ) . Wenn Ihre Populationen ( N A Und N B ) groß sind, können Sie dies vernachlässigen, aber ich bin davon ausgegangen, dass Sie die schwierige Frage stellen.
@dmckee Ja, ich interessiere mich für den Fall, in dem sich die Populationen erheblich ändern. Sie meinen also, dass die Wahrscheinlichkeit von der tatsächlichen Anzahl der Teilchen abhängt und nicht von der durchschnittlichen Anzahl, richtig?
Ja. Dies ist am wichtigsten, wenn die Populationen sehr klein sind, aber das sind zumindest die einfachen Fälle für Monte Carlo.
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