Arten von Kollisionen und Geschwindigkeit

Um Ihr Beispiel konkreter zu machen, nehmen wir an, wir betrachten eine 1D-Kollision mit einem Massenobjekt$m_1$sich mit Geschwindigkeit bewegen$v$kollidiert mit einem Masseobjekt$m_2$zunächst in Ruhe (die Analyse überlasse ich Ihnen für den Fall, dass sich das zweite Objekt zunächst bewegt). Danach sind die Geschwindigkeiten der Objekte jeweils$v_1$Und$v_2$.

Da der Impuls bei allen unseren Kollisionen erhalten bleibt, gilt immer:

$$m_1v=m_1v_1+m_2v_2$$

Betrachten wir jede Art von Kollision:

Elastische Kollision

Bei elastischen Stößen bleibt auch die kinetische Energie erhalten, also haben wir

$$\frac12m_1v^2=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$

Durch etwas lustige Algebra können wir zeigen, dass unsere beiden Erhaltungsbedingungen zu dem Ergebnis führen, dass die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Objekten die Richtung wechselt. Mit anderen Worten:

$$v=v_2-v_1$$

Setzen wir dies wieder in unsere Impulserhaltungsgleichung ein, erhalten wir am Ende:

$$v_2=\frac{2m_1v}{m_1+m_2}$$

Vollkommen unelastische Kollision

Bei dieser Kollision haften die Objekte aneinander und bewegen sich nach der Kollision mit gleicher Geschwindigkeit, also$v_1=v_2$und unsere Impulserhaltungsgleichung kann umgeschrieben werden als

$$m_1v=(m_1+m_2)v_2$$ oder, $$v_2=\frac{m_1v}{m_1+m_2}$$

Unelastische Kollision

Für diese letzte Kollision gibt es keine Möglichkeit zu wissen, was genau passieren wird. Es hängt davon ab, wie viel Energie das System verlässt. Wir können jedoch Grenzen bestimmen$v_2$.

Unsere Impulserhaltung gilt immer noch, aber jetzt haben wir einen Energieverlust:

$$\frac12m_1v^2>\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2$$

Wir können der gleichen Algebra wie im elastischen Fall folgen, wobei wir auf die Ungleichung achten, um zu folgendem Ergebnis zu gelangen:

$$v>v_2-v_1$$ was dazu führt $$v_2<\frac{2m_1v}{m_1+m_2}$$

Wir können keine Untergrenze größer als erhalten$0$An$v_2$in diesem Fall. Wir können nur sagen, dass die kinetische Energie, die verloren geht, geringer ist als die, die bei der vollkommen unelastischen Kollision verloren geht.

Dies (sowie alles oben Besprochene) ist in einem Beispielplot zu sehen. Wenn wir die Änderung der kinetischen Energie als Funktion von auftragen$v_2$Unter der Annahme, dass der Impuls erhalten bleibt, erhalten wir Folgendes:

(In diesem Plot habe ich verwendet$m_1 = 3\ \rm{kg}$,$m_2=1\ \rm{kg}$,$v=1\ \rm{m/s}$, und durch Impulserhaltung,$v_1=\frac{m_1v-m_2v_2}{m_1}$)

Wie Sie sehen können, erhalten wir den größten kinetischen Energieverlust für den vollkommen unelastischen Fall, wenn$v_2=\frac{m_1v}{m_1+m_2}$($v_2=0.75\ \rm{m/s}$in diesem Fall). Jedoch,$v_2$kann tatsächlich kleiner als dieser Wert sein und der Impuls wird immer noch mit Energieverlust erhalten.

Daher kann man nur sagen, dass die Geschwindigkeit des zweiten Objekts nach einem elastischen Stoß größer ist als bei einem inelastischen Stoß.