Elastische Stöße und Impulserhaltung

Bei einem elastischen Stoß bleiben die Massen beider Körper, die gesamte kinetische Energie und der gesamte lineare Impuls erhalten. Die kinetische Energie hat Beiträge von den Bewegungen der Objekte sowie ihren Rotationen. Wenn wir davon ausgehen, dass kein Austausch zwischen diesen beiden Formen kinetischer Energie stattfindet, dh dass beide Formen getrennt erhalten bleiben, haben wir

$$m_1\boldsymbol{v}_1 + m_2\boldsymbol{v}_2 = m_1\boldsymbol{w}_1 + m_2\boldsymbol{w}_2$$ Und $$\tfrac{1}{2}m_1\boldsymbol{v}_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2\boldsymbol{v}_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1\boldsymbol{w}_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2\boldsymbol{w}_2^2$$ Wo $\boldsymbol{v}$Und $\boldsymbol{w}$bezeichnen die Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß. Somit haben wir 4 Gleichungen (3 Komponenten des Impulses und der Energie) für 6 Unbekannte (3+3 Komponenten der Nachkollisionsgeschwindigkeiten). Folglich sind die obigen Gleichungen (in Verbindung mit $\boldsymbol{v}_{1,2}$) schränken die nicht eindeutig ein $\boldsymbol{w}_{1,2}$. Einige andere Informationen sind erforderlich, um die relative Richtung zu bestimmen. Dies hängt von den Eigenschaften der Objekte und dem Ort des Aufpralls ab.

Das obige Gleichungssystem ist invariant unter einer Galilei-Transformation, dh einer Änderung des Geschwindigkeitsursprungs. Besonders einfach werden sie in dem Rahmen, in dem der Gesamtimpuls verschwindet. Dann bezeichne ein Strich die Geschwindigkeiten in diesem Rahmen

$$\boldsymbol{v}' = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{V},\qquad \boldsymbol{V} = \frac{m_1\boldsymbol{v}_1+m_2\boldsymbol{v}_2}{m_1+m_2}$$ und wir haben $$m_1 \boldsymbol{w}'_1+m_2 \boldsymbol{w}'_2=0,\quad |\boldsymbol{w}'_1| = |\boldsymbol{v}'_1|,\quad |\boldsymbol{w}'_2| = |\boldsymbol{v}'_2|$$ (Diese Gleichungen sind nicht unabhängig, es gibt immer noch nur 4 unabhängige skalare Nebenbedingungen). Insbesondere die Geschwindigkeiten bleiben in diesem Rahmen gleich .

In 1D haben wir 2 Gleichungen für 2 Unbekannte und daher ist die Lösung vollständig bestimmt (auch gibt es in 1D keine Rotation). Da eine Kollision erfordert$w_{1,2}\neq v_{1,2}$, wir haben$w_{1,2}=-v_{1,2}$. Zurückverwandeln in den ursprünglichen Rahmen ergibt dies

$$w_{1,2} = 2 V - v_{1,2}.$$ Gleich bleibende Drehzahlen ( $w_{1,2}=-v_{1,2}$) gibt uns $V=0$. Somit bleiben in 1D die Geschwindigkeiten genau dann gleich, wenn der Gesamtimpuls verschwindet.

Wenn Sie eine elastische Kollision zwischen den Objekten 1 und 2 haben und bei der 'kinetische Energie erhalten bleibt' ... werden sich beide Objekte immer 'verbinden' und die gleiche gemeinsame Geschwindigkeit haben?

Der lineare Impuls bleibt erhalten, wenn sich also die Objekte verbinden

$$\vec{p}_1+\vec{p}_2=(m_1+m_2)\vec{V}\ $$ Wo $\vec{V}$ist die gemeinsame Endgeschwindigkeit.

Die anfängliche kinetische Energie ist

$$K_i=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}$$ Die endgültige kinetische Energie wird sein $$K_f=\frac{(m_1+m_2)V^2}{2} = \frac{p_1^2+p_2^2+2\vec{p}_1\cdot\vec{p}_2}{2(m_1+m_2)}$$ Wir können leicht zeigen, dass, wenn die Teilchen entgegengesetzt gerichtete Impulse oder senkrechte Impulse haben, $K_f<K_i$. Das Maximum von K_f tritt bei parallelen Impulsen und damit paralleler Geschwindigkeit auf. $$K_{fmax}=\frac{p_1^2+p_2^2+2|p_1||p_2|}{2(m_1+m_2)}=\frac{(|p_1|+|p_2|)^2}{2(m_1+m_2)}.$$

Eine kurze Übung in Algebra wird das zeigen$K_i\geq K_f$, wobei die Gleichheit nur dann auftritt, wenn$v_1=v_2$, in diesem Fall kollidieren die Teilchen niemals.

Fazit: Wenn die Teilchen kollidieren und aneinander haften, kann die Kollision nicht elastisch sein.