Aufrechterhaltung des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts (LTE) in strahlendem Gas mit einer breiten atomaren Übergangslinie

Question

Aufrechterhaltung des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts (LTE) in strahlendem Gas mit einer breiten atomaren Übergangslinie

Physik
Strahlung
Astrophysik
Atomphysik
atomare Anregung
Wärmestrahlung

Kleingordon

Definitionen / Hintergrund

In LTE gilt das Kirchoffsche Strahlungsgesetz:

\frac{J_{v}}{a_{v}} = B_{v} (T)

$\frac{j_{\nu}}{\alpha_{\nu}} = B_{\nu} (T)$

Wo $j_{\nu}$ ist das spezifische Strahlungsemissionsvermögen, $\alpha_{\nu}$ ist die monochromatische Strahlungsabsorption, und $B_{\nu} (T)$ ist die bei der Temperatur ausgewertete Planck-Funktion $T$ .

Stellen Sie sich ein Gas aus zweistufigen Atomen mit Energien vor $E_u$ Und $E_l$ , mit $E_u > E_l$ , statistische Gewichte $g_u$ Und $g_l$ , und Anzahldichten $n_u$ Und $n_l$ . Der Übergang zwischen diesen Zuständen hat Einstein-Koeffizienten $A_{ul}$ , $B_{ul}$ Und $B_{lu}$ die wir verwenden können, um den Emissionsgrad und die Absorption des Übergangs zu schreiben:

J_{v} = \frac{H v}{4 π} N_{u} A_{u l} ψ (v)

$j_{\nu} = \frac{h \nu}{4 \pi} n_u A_{ul} \psi({\nu})$

a_{v} = \frac{H v}{4 π} [N_{l} B_{l u} ϕ (v) - N_{u} B_{u l} χ (v)]

$\alpha_{\nu} = \frac{h \nu}{4 \pi} [ n_l B_{lu} \phi({\nu}) - n_u B_{ul} \chi({\nu})]$

Wo $\psi$ , $\phi$ , Und $\chi$ sind Linienprofilfunktionen, die Linienverbreiterungsmechanismen wie thermische Bewegung berücksichtigen.

Dann haben wir unter Verwendung der Standardbeziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten

\frac{J_{v}}{a_{v}} = \frac{2 H v^{3}}{C^{2}} \frac{\frac{ψ}{ϕ}}{\frac{G_{u} N_{l}}{G_{l} N_{u}} - \frac{χ}{ϕ}}

$\frac{j_{\nu}}{\alpha_{\nu}} = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{\frac{\psi}{\phi}}{\frac{g_u n_l}{g_l n_u} - \frac{\chi}{\phi}}$

Frage

Ich möchte verstehen, wie sich die rechte Seite der letzten Gleichung unter LTE-Bedingungen über die gesamte Breite der Linie zur Planck-Funktion vereinfacht, ohne anzunehmen, dass die Linie schmal ist.

Eine Standarddiskussion zu diesem Thema, wie sie zB im Lehrbuch der Astrophysik von Rybicki und Lightman zu finden ist, scheint dies nicht zu erreichen. In meiner Lektüre gehen sie von folgenden Beobachtungen und/oder Annahmen aus:

1) Es gibt eine vollständige Umverteilung der Frequenz zwischen Absorption und allen Arten von Emission, so dass $\psi = \chi = \phi$ .

2) In LTE bei Temperatur T, der Bruchteil $g_u n_l / (g_l n_u)$ ist gleich $\exp[h \nu_0/(kT)]$ , Wo $\nu_0 = (E_u - E_l)/h$ .

Wenn das stimmt, dann haben wir

\frac{J_{v}}{a_{v}} = \frac{2 H v^{3}}{C^{2}} \frac{1}{\exp [H v_{0} / (k T)] - 1}

$\frac{j_{\nu}}{\alpha_{\nu}} = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{\exp[h \nu_0/(kT)] - 1}$

Aber diese hat nicht den korrekten Exponentialterm im Nenner, um mit der Planck-Funktion übereinzustimmen, weil $\nu_0$ konstant (frequenzunabhängig) ist. Oder aus einer anderen Perspektive, das Problem ist das $g_u n_l / (g_l n_u)$ ist frequenzunabhängig.

Also, was ist los? Müssen wir eine der Annahmen/Beobachtungen 1 oder 2 oben brechen? Wenn das so ist, wie? Wenn nicht, gilt das Kirchhoffsche Gesetz dann einfach nicht frequenzweise über die Breite einer breiten Linie, obwohl es immer noch im liniengemittelten Sinne gelten könnte? Gibt es eine andere Möglichkeit oder ein Detail, das ich übersehen habe?

Ján Lalinský

Der Einstein-Weg, um zur Planck-Funktion zu gelangen, besteht darin, anzunehmen, dass es ein Molekül mit einem geeigneten Paar von Energieniveaus für jede Strahlungsfrequenz gibt

ν

$\nu$ gewünscht. Also wählst du zuerst welche aus

ν

$\nu$ und nur dann nehmen Sie an, dass es ein Molekül mit Niveaus gibt, das spontan bei dieser Frequenz strahlt. Gas aus zweistufigen Atomen mit einer Emissionsfrequenz funktioniert meiner Meinung nach mit dieser Ableitung nicht. Um Strahlung mit dem Planck-Spektrum zu erhalten, wird bei dieser Ableitung ein Gas benötigt, das bei jeder möglichen Frequenz strahlt.

Kleingordon

@JánLalinský Auch wenn es nur 2 Ebenen im Atom gibt, ist das Linienprofil keine Delta-Funktion - es gibt immer noch einen Frequenzbereich, über den das Atom für den einzelnen Übergang strahlen kann. (Ich denke, in Einsteins Ableitung hat er implizit angenommen, dass das Linienprofil eine Delta-Funktion ist, aber ich möchte diese Annäherung nicht machen). Ich würde aufgrund thermodynamischer Argumente erwarten, dass Sie immer noch die Planck-Quellenfunktion über all diese Frequenzen in der Breite der Linie erhalten, nicht nur in der Mitte der Linie. Ist das der Fall?

Ján Lalinský

Die Einstein-Ableitung ist sehr einfach. Das Linienprofil geht überhaupt nicht ein. Die Annahme von Molekülen mit breiten Emissionslinien ist in Ordnung, aber ich denke nicht, dass dies in der Einstein-Ableitung wesentlich ist. Anwesenheit von verschiedenen Ebenenpaaren mit unterschiedlichen zugeordneten Frequenzen ist. Nur ein Pegelpaar mit breiter Emissionslinie reicht bei dieser Ableitung nicht aus. Sie müssen eine andere Begründung finden, um mit einer solchen Annahme zur Planck-Funktion zu gelangen.

Kleingordon

@JánLalinský Danke. In diesem Fall lautet meine Frage: "Was ist die andere Argumentationslinie, die erforderlich ist, um zur Planck-Funktion für einen Übergang auf einer Ebene zu gelangen?" Und wo genau bricht die vereinfachende Herleitung in meiner Frage zusammen?

ProfRob

LTE ist immer nur eine Annäherung. Ich würde Ihrer letzteren Erklärung folgen, dass die Quellfunktion der über ein Linienprofil gemittelten Planck-Funktion entspricht. Wäre dies nur dann von Bedeutung, wenn sich das Strahlungsfeld über die Breite einer Linie merklich ändert? In welchem Fall können Sie jemals mit LTE rechnen? Tolle Frage.

Kleingordon

@RobJeffries Danke, das ist eine weitere gute Perspektive, aus der ich meine Frage betrachten kann, insbesondere "Wie können Sie LTE in einer Situation erwarten, in der sich das Strahlungsfeld über die Breite einer Linie merklich ändert?" Jede weitere Hilfe wäre sehr willkommen.

Antworten (2)

Aufrechterhaltung des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts (LTE) in strahlendem Gas mit einer breiten atomaren Übergangslinie

Der Einstein-Weg, um zur Planck-Funktion zu gelangen, besteht darin, anzunehmen, dass es ein Molekül mit einem geeigneten Paar von Energieniveaus für jede Strahlungsfrequenz gibt $\nu$ gewünscht. Also wählst du zuerst welche aus $\nu$ und nur dann nehmen Sie an, dass es ein Molekül mit Niveaus gibt, das spontan bei dieser Frequenz strahlt. Gas aus zweistufigen Atomen mit einer Emissionsfrequenz funktioniert meiner Meinung nach mit dieser Ableitung nicht. Um Strahlung mit dem Planck-Spektrum zu erhalten, wird bei dieser Ableitung ein Gas benötigt, das bei jeder möglichen Frequenz strahlt.
@JánLalinský Auch wenn es nur 2 Ebenen im Atom gibt, ist das Linienprofil keine Delta-Funktion - es gibt immer noch einen Frequenzbereich, über den das Atom für den einzelnen Übergang strahlen kann. (Ich denke, in Einsteins Ableitung hat er implizit angenommen, dass das Linienprofil eine Delta-Funktion ist, aber ich möchte diese Annäherung nicht machen). Ich würde aufgrund thermodynamischer Argumente erwarten, dass Sie immer noch die Planck-Quellenfunktion über all diese Frequenzen in der Breite der Linie erhalten, nicht nur in der Mitte der Linie. Ist das der Fall?
Die Einstein-Ableitung ist sehr einfach. Das Linienprofil geht überhaupt nicht ein. Die Annahme von Molekülen mit breiten Emissionslinien ist in Ordnung, aber ich denke nicht, dass dies in der Einstein-Ableitung wesentlich ist. Anwesenheit von verschiedenen Ebenenpaaren mit unterschiedlichen zugeordneten Frequenzen ist. Nur ein Pegelpaar mit breiter Emissionslinie reicht bei dieser Ableitung nicht aus. Sie müssen eine andere Begründung finden, um mit einer solchen Annahme zur Planck-Funktion zu gelangen.
@JánLalinský Danke. In diesem Fall lautet meine Frage: "Was ist die andere Argumentationslinie, die erforderlich ist, um zur Planck-Funktion für einen Übergang auf einer Ebene zu gelangen?" Und wo genau bricht die vereinfachende Herleitung in meiner Frage zusammen?
LTE ist immer nur eine Annäherung. Ich würde Ihrer letzteren Erklärung folgen, dass die Quellfunktion der über ein Linienprofil gemittelten Planck-Funktion entspricht. Wäre dies nur dann von Bedeutung, wenn sich das Strahlungsfeld über die Breite einer Linie merklich ändert? In welchem Fall können Sie jemals mit LTE rechnen? Tolle Frage.
@RobJeffries Danke, das ist eine weitere gute Perspektive, aus der ich meine Frage betrachten kann, insbesondere "Wie können Sie LTE in einer Situation erwarten, in der sich das Strahlungsfeld über die Breite einer Linie merklich ändert?" Jede weitere Hilfe wäre sehr willkommen.

ProfRob · Answer 1

Nehmen wir an, der Verbreiterungsmechanismus ist Van-der-Waals- oder Stark-Verbreiterung – etwas, bei dem die Energieniveaus einzelner Atome gestört werden.

In diesem Fall könnten Sie das folgende Argument verwenden.

Unterteilen Sie das Linienprofil in Gruppen von Atomen, die dieselbe Störung teilen, und behandeln Sie jede von ihnen als eine Subpopulation mit einer anderen Energielücke und daher als gestört $\nu_0^{\prime}$ . Sie können die übliche Argumentation mit der Beziehung zwischen den Einstein-Koeffizienten durchgehen und die beiden Ebenen gemäß dem Boltzmann-Faktor füllen, aber mit $h\nu_0^{\prime}$ im Exponentialargument. Am Ende davon finden Sie die Quellenfunktion für jede Teilpopulation, die der Planck-Funktion bei derselben Temperatur folgt $T$ . LTE bedeutet also, dass die Quellfunktion bei jeder Frequenz gleich der Planck-Funktion ist.

Hmm. Womöglich. Ich weiß den Beitrag zu schätzen, obwohl ich mir auch nicht ganz sicher bin, ob dies die richtige Erklärung ist. Wenn dies mit einer detaillierteren Ableitung oder einer Referenz untermauert werden könnte, wäre dies sehr hilfreich.
Ich stimme einem Ihrer Vorschläge zu: Das Kirchoffsche Gesetz wird nicht (genau) gelten, wenn die Linie sehr breit ist. Ich glaube nicht, dass Sie den Boltzmann-Faktor verwenden können, wie Sie es in dem Fall getan haben, in dem die Energieniveaus erheblich verbreitert sind (was ein breites Linienprofil impliziert).
Ein weiteres Problem - werden die "Standardbeziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten" nicht auch durch die Annahme abgeleitet, dass die Strahlungsenergiedichte durch einen Mittelwert über ein schmales Linienprofil dargestellt wird?
Ja, die Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten werden oft unter der Annahme einer vernachlässigbaren Linienverbreiterung hergeleitet. Wenn diese Beziehungen für grobe Linien verfeinert werden müssen, wäre das gut zu wissen. Was ist Ihrer Meinung nach die vielversprechendste Erklärung hier: Die Beziehungen zwischen den Einstein-Koeffizienten müssen verfeinert werden, die Anwendung des Boltzmann-Faktors für die waagerecht ausgerichteten Bevölkerungsdichten muss überdacht werden, oder beides? Ich möchte im Detail aufzeigen, wie das alles funktioniert.
Doh! Ich hatte gehofft, jemand anderes würde sich einbringen. Haben Sie ein Beispielsystem, bei dem die Verbreiterung einen erheblichen Bruchteil der Mittenfrequenz ausmacht?
Ah, das ist eine vielversprechende Perspektive. Ich werde noch etwas darüber nachdenken, um zu sehen, ob ich zustimme. Höchstwahrscheinlich werde ich Ihnen am Ende das Kopfgeld geben. Vielen Dank für Ihre Hilfe.
Immer noch nicht zufrieden mit der Erklärung der thermischen Linienverbreiterung - denke immer noch. Aber ich glaube der Rest ist ok.
Ja, bei der thermischen Verbreiterung bin ich mir auch noch nicht sicher. Aber du hast mir auf jeden Fall einiges klar gemacht.

Sudharshan Saranathan · Answer 2

Ich bin mir nicht sicher, ob diese Erklärung richtig ist, also zögern Sie nicht, auf Unstimmigkeiten hinzuweisen.

Ein Gas mit zwei Energieniveaus absorbiert einen Bereich von Frequenzen, die um zentriert sind $\nu_{0}$ weil die Atome des Gases in Bewegung sind, wodurch die Photonen in ihrem Bezugssystem entsprechend dopplerverschoben erscheinen.

Im Laborrahmen, wo die Atome des Gases herumsausen, könnte man dies als Manifestation der Ausbreitung der Energieniveaus des Gases interpretieren. Daher hat jedes Gas grundsätzlich mehr als zwei Energieniveaus. Die Beziehung zwischen Einsteins Koeffizienten eines beliebigen Paares von Energieniveaus (die durch eine Frequenz getrennt sind $\nu$ ) ist immer noch:

\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8 π H v^{3}}{C^{3}} \frac{B_{21}}{B_{12}} = \frac{G_{1}}{G_{2}}

$\begin{equation} \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}} \\ \frac{B_{21}}{B_{12}} = \frac{g_{1}}{g_{2}} \end{equation}$

Beachten Sie, dass die thermische Ausbreitung die Entartungen nicht stören würde. Diese Verteilung der Energieniveaus hat, wie Sie in den Kommentaren betont haben, Konsequenzen für den Boltzmann-Faktor. Für jeden Frequenzunterschied $\nu$ , wäre der Boltzmann-Faktor nun:

\frac{N_{u}}{N_{l}} = e^{- H v / K T}

$\begin{equation} \frac{n_{u}}{n_{l}} = e^{-h\nu/KT} \end{equation}$

Daher könnten Sie im Prinzip die Quellfunktion für jede Frequenz unabhängig ableiten. Es würde dann kollektiv gelten, dass das Kirchoffsche Gesetz auf jedes Gas in LTE anwendbar ist, unabhängig davon, welche physikalischen Mechanismen wie viel zur Leitungsspreizung beigetragen haben.

Natürlich wird weiterhin für alle Übergangsfrequenzen folgende Annahme verwendet :

ϕ (v) = χ (v) = ψ (v)

$\begin{equation} \phi(\nu) = \chi(\nu) = \psi(\nu) \end{equation}$

Diese Linienprofilfunktionen repräsentieren drei sehr spezifische Prozesse: Spontane Emission, Absorption, Stimulierte Emission. Diese Prozesse sind idealerweise um eine bestimmte Frequenz herum zentriert $\nu_{0}$ so dass ich erwarten würde, dass die thermische Verbreiterung sie gleichermaßen beeinflusst.

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