Ausgearbeitetes Beispiel - Klassische Mechanik von David Morin

Problem: Ein Seil wickelt einen Winkel θ um einen Pfahl. Du greifst an einem Ende und ziehst mit Spannung T 0 . Das andere Ende ist an einem großen Objekt befestigt, beispielsweise einem Boot. Wenn der Haftreibungskoeffizient zwischen Seil und Stange ist μ , was ist die größte Kraft, die das Seil auf das Boot ausüben kann, wenn das Seil nicht um die Stange rutschen soll?

Gegebene Lösung:
Betrachten Sie ein kleines Stück des Seils, das einen Winkel überspannt D θ . Lassen Sie die Spannung in diesem Stück sein T (was bei der geringen Länge leicht variiert). Der Pol übt eine kleine nach außen gerichtete Normalkraft aus, N D θ , auf dem Stück. Diese Normalkraft dient dazu, die „inneren“ Komponenten der Spannungen an den Enden auszugleichen. Diese inneren Komponenten haben eine Größe T Sünde ⁡ ( D θ / 2 ) . 1 Daher N D θ = 2 T Sünde ⁡ ( D θ / 2 ) . Die Kleinwinkelnäherung, Sünde ⁡ ( X ) ≈ X , erlaubt uns, dies zu schreiben als N D θ = T D θ .
Die Reibungskraft auf dem kleinen Seilstück genügt F D θ ≤ μ N D θ = μ T D θ . Diese Reibungskraft verursacht den Spannungsunterschied zwischen den beiden Enden des Teils. Mit anderen Worten, die Spannung als Funktion von θ genügt

T ( θ + D θ ) ≤ T ( θ ) + μ T D θ       ( ∗ ) ⟹ D T ≤ μ T D θ ⟹ ∫ D T T ≤ ∫ μ D θ ⟹ ln ⁡ ( T ) ≤ μ θ + C ⟹ T ≤ T 0 e μ θ

Was ich hier nicht verstehe ist, dass der Autor sagt, das andere Ende des Seils sei am Boot "befestigt". Nun bedeutet dies nicht, dass das Boot das Seil mit einer gewissen Spannung "zieht" ... wenn dies der Fall ist (das Boot zieht das Seil mit einer großen Spannung, sagen wir T ), dann ist mir klar, was zu tun ist, wir ordnen der Reibungskraft entsprechend eine Richtung zu und sehen, dass die Kraft, die nötig ist, um das Seil am Rutschen zu hindern, also T 0 ≥ T e − μ θ , was mit dem im Buch angegebenen Ergebnis übereinstimmt.

Aber da das Seil hier nur am Boot "befestigt" ist, sehe ich nicht, wie die Gleichung markiert ist ( ∗ ) gilt ... da "wir" mit einer Spannung "ziehen". T 0 , sollte die Gleichung nicht lauten (aufgrund der Reibungsrichtung ..)

T ( θ + D θ ) + μ T D θ ≤ T ( θ ) ⟹ T ≤ T 0 e − μ θ

EDIT: Ich möchte meine Frage klarer stellen ... Ein Seil wird an einem Boot befestigt, das Seil wird dann um eine Stange gewickelt. Jetzt greife ich das andere Ende des Seils und ziehe mit Spannung daran T 0 ..Dann sollte Reibung meiner Aktion, am Seil zu ziehen, nicht entgegenstehen?..In diesem Fall wie lautet die Gleichung ( ∗ ) zutreffen?

Grundsätzlich möchte ich wissen, wie der Autor auf die Gleichung gekommen ist ( ∗ ) ...Die Aussage "Diese Reibungskraft verursacht den Spannungsunterschied zwischen den beiden Enden des Stücks." ist mir nicht ganz klar... "Unterschied" in welchem ​​Sinn?

T ( θ + D θ ) > T ( θ )           ODER           T ( θ ) < T ( θ + D θ )

Der Autor hat dies im Text nicht erklärt, daher verstehe ich die Gleichung nicht ( ∗ ) ist wahr ... da es keine Erklärung dafür gibt, welche Richtung für die Haftreibungskraft gewählt wird und warum.

Antworten (1)

Wenn das Seil mit einer gewissen Kraft am Boot zieht, zieht das Boot nach Newtons drittem Gesetz mit derselben Kraft am Seil. Also ist jede Terminologie in Ordnung. Durch das Anbringen des Seils am Boot und durch das Spannen des Seils ziehen nun Seil und Boot aneinander.

Ihr Vorschlag, dass T ≤ T 0 e − μ θ macht keinen Sinn, da es darauf hindeutet, dass je mehr das Seil um die Stange gewickelt ist, desto geringer die Spannung sein kann, bevor es rutscht.

Um zu sehen warum T ( θ + D θ ) ≤ T ( θ ) + μ T D θ richtig ist, schauen wir uns ein einfacheres Szenario mit Haftreibung an. Nehmen wir an, ich habe einen Block auf einer ebenen Fläche mit Reibung und einer Kraft T 1 zieht am Block nach links, und eine andere Kraft T 2 zieht am Block nach rechts. Wenn T 2 ≠ T 1 aber der Block bewegt sich nicht, das muss es sein

| T 2 − T 1 | ≤ μ N
Wenn wir jedoch die Richtung der bevorstehenden Bewegung kennen, können wir das Betragszeichen loswerden. Wenn wir zum Beispiel Reibung kennen, die verhindert, dass der Block nach rechts rutscht, dann wissen wir das T 2 > T 1 , und das haben wir
T 2 − T 1 ≤ μ N

Dasselbe passiert hier. Wir gehen davon aus D T = T ( θ + D θ ) − T ( θ ) > 0 so dass die bevorstehende Bewegung in Richtung von ist D θ > 0 . Deshalb haben wir T ( θ + D θ ) ≤ T ( θ ) + μ T D θ .

Beachten Sie, dass keine dieser Arbeiten die tatsächlichen Spannungen im System bestimmt. All diese Arbeit zeigt, ist die Grenze zu T vor dem Rutschen gegebene Werte für T 0 , μ , Und θ .

Warum D T > 0 , Sie haben Recht, dass dies nicht immer der Fall ist, genauso wie es in meinem Beispiel nicht der Fall sein muss T 2 > T 1 . Um das Zeichen zu setzen D T wir müssen die Richtung der bevorstehenden Bewegung entweder annehmen oder daraus schließen. Das Problem geht offensichtlich von einer bevorstehenden Bewegung in Richtung der Zunahme aus θ , was ich für sinnvoll halte. Ich nehme an, es wäre besser gewesen, wenn die Frage diese Annahme explizit und detaillierter formuliert hätte.

Wenn das immer noch unbefriedigend ist, dann lassen Sie uns technisch werden: was ist größer für θ > 0 , T 0 e μ θ , oder T 0 e − μ θ ?

Nein ... bedenken Sie Folgendes ... Ich habe ein Seil am Boot befestigt und das Seil etwa 10 Mal um eine Stange gewickelt. Der Reibungskoeffizient sei 0,5. Bedeutet es dann, dass ... wenn ich das freie Ende des Seils um sagen wir 1N ziehe, dann wäre die Kraft auf das Boot e 0,5 ∗ 2 π ∗ 10 ?? Das ist ungefähr 4.5 ∗ 10 13 N ! Macht keinen Sinn
Was ich in meinem ersten Kommentar hier meine ist .... wenn das Boot "schon" am Tau zieht ... bevor wir das andere Ende des Taus greifen ... dann ... die minimale Spannung, mit der wir ziehen müssen das Seil sollte von gegeben werden T 0 ≥ T e − μ θ . Für mich scheint es, als ob der Autor sagen würde, wenn wir ein Ende des Seils greifen, dann das Seil um eine Stange wickeln und dann das andere Ende an einem Boot befestigen, dann wenn wir an einem Ende mit einer Spannung ziehen T 0 , im Grenzfall würde das Boot durch eine Spannung gezogen werden T 0 e μ θ
Ich habe meine Frage bearbeitet, um sie klarer zu machen. Könnten Sie bitte einen Blick darauf werfen und eine andere Antwort posten (oder die aktuelle bearbeiten)?
@thornsword Ich habe meine Antwort bearbeitet. Als Antwort auf Ihren ersten Kommentar denken Sie daran, dass wir es hier mit Ungleichheiten zu tun haben, nicht unbedingt mit tatsächlichen Kraftausgaben. Mehr Drehungen bedeuten nur, dass wir eine größere maximale Spannung auf das Boot ausüben könnten; es bedeutet nicht T = T 0 e μ θ
Ich habe den ersten Teil Ihrer bearbeiteten Antwort verstanden. Aber ich verstehe nicht, warum wir davon ausgehen D T > 0 ? Wie können wir eine solche Annahme treffen, ohne zu wissen, welche Kraft größer ist? Zweitens habe ich Ihren Standpunkt zu Ungleichheiten verstanden ... aber das Bild in meinem Kopf ist, wenn etwas am anderen Ende mit einer sehr großen Kraft zieht, dann müssen wir nur eine ausreichend kleine Kraft aufbringen, um es auszugleichen ... ich nicht Ich sehe nicht, wie wir ein riesiges Boot ziehen können, indem wir eine kleine Kraft aufbringen ... selbst wenn die Gleichheit nicht gilt, ist der Bereich möglicher Werte für die Spannung immer noch riesig!
Als Gegenbeispiel (zeigt warum D T > 0 kann nicht angenommen werden). Stellen Sie sich eine Flüssigkeit in einem Becherglas vor. Versuchen wir, den Ausdruck für den Druck in einer statischen Flüssigkeit herzuleiten. Stellen Sie sich einen zylindrischen Teil der Flüssigkeit vor. Nehmen wir an, das Niveau des Bodens des Becherglases sei 0 in unserer Y Koordinatensystem. Betrachten Sie nun den Flüssigkeitsklecks im ausgewählten Zylinder dazwischen j Und j + D j . Dann steigt der Druck in der Flüssigkeit auf eine Höhe an j Ist P , und der Druck bei j + D j Ist P + D P . Hier können wir natürlich nicht davon ausgehen D P > 0 . Andernfalls würde dies bedeuten, dass der Druck mit zunehmender Höhe von der Basis aus zunimmt.
@thornsword Ich habe meine Antwort bearbeitet. Nach mehr Nachdenken stimme ich zu, dass das Problem hätte besser formuliert werden können, um bestimmte Annahmen zu formulieren.
Okay, also am Ende ... das Problem geht davon aus, dass das Boot tatsächlich am Seil zieht ... und wir versuchen, es zu halten und zu verhindern, dass es rutscht ... habe ich recht?
@thornsword Ja, das scheint der Fall zu sein
Ausgearbeitetes Beispiel - Klassische Mechanik von David Morin
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