Aussagenlogik: Wie beweist man die Kontraposition im Fitch-System?

In Anbetracht dessen:

p ⇒ q

Beweise das:

¬q ⇒ ¬p

nach dem Fitch-System .

(Dies ist der Beweis der Kontraposition )

Hallo und Willkommen! Nur eine Anmerkung zur nächsten Frage: Fragen wie diese sehen so aus, als wollte man seine Hausaufgaben von anderen machen lassen. Das fördern wir natürlich nicht. Daher würde es wahrscheinlich zu einer besseren und größeren Resonanz führen, wenn Sie angeben, warum dies für Sie problematisch ist, und wie Sie Ihre eigenen Bemühungen zeigen und wo Sie feststecken .
Danke Phillip, nein, ich bin kein Philosophie- oder Mathematikstudent, ich mache mich nur als Online-Autodidakt mit Logik vertraut.
Für den Stanford-Kurs "Einführung in die Logik" von Michael Genesereth, nehme ich an? Einen Online-Proof-Assistenten im Fitch-Stil finden Sie hier , falls es jemanden interessiert. Dieses Tool sollte jedoch wirklich mächtig verbessert werden.
Sie haben recht @DavidTonhofer

Antworten (3)

1. p => q         Premise
2.   | ~q         Assumption
3.      || p      Assumption    
4.      || ~q     Reiteration: 2
5.   | p => ~q    Implication Introduction: 3, 4
6.   | ~p         Negation Introduction: 1, 5
7. ~q => ~p       Implication Introduction: 2, 6
Es klappt .......

Ich bin mit Fitch nicht sehr vertraut, aber so würde ich es machen:

Gehen Sie zunächst von der uns gegebenen Annahme aus.

Finden Sie dann den wahrscheinlichen Weg zur Schlussfolgerung heraus. Da unsere Schlussfolgerung eine Bedingung ist, gibt es zwei oder drei grundlegende Möglichkeiten, damit zu enden. Erstens gibt es die materielle Implikation (~avb |- a -> b). Zweitens gibt es die bedingte Einführung – nehmen Sie ein Argument, das mit einer Annahme beginnt, und bringen Sie es als Bedingung auf eine niedrigere Ebene. Drittens kommt es aus einem größeren Ausdruck heraus.

In diesem Fall ist die bedingte Einführung der einzige brauchbare Kandidat. Daher sollte unsere zweite Zeile die Annahme von ~q sein.

Unsere nächste Frage ist, wie man zu ~p kommt. Um mit einem Not zu enden, können wir entweder so etwas wie DeMorgans oder bedingte Implikation machen oder eine Annahme aufgrund eines Widerspruchs aufheben. Hier werden wir letzteres tun.

1. p -> q EIN

2. | ~q A

3. | | p A

4. | | qMP 1,3

5. | | ~q R 2

6. | | ⊥ Einführung (⊥ Einführung) 4,5

7. | ~p Kontra. Elim 3-5

8. ~q -> ~p Bedingte Einführung 2-6

Danke Virmaior, die Sache mit Fitch ist, einen Widerspruch zu beweisen ist nicht so einfach, es reicht nicht aus, zwei widersprüchliche Prämissen aufeinander zu setzen. Ich habe versucht, einen Widerspruchsbeweis zu führen, wie Sie es getan haben, aber es wurde nicht akzeptiert. Es scheint, dass die Frage darauf ausgelegt war, Beweise durch Widerspruch nicht zu akzeptieren. Wesentliche Auswirkungen, DeMorgans gelten nicht als Fitch-Regeln. Wir haben also nicht viele Werkzeuge zur Hand.
Wie auch immer, ich habe es geschafft, es zu lösen, ich werde die Antwort geben, wenn es jemanden interessiert.
Korrigiert per Fitch-Regeln unter faculty.washington.edu/smcohen/120/Chapter6.pdf . Ihr Beweis ist im Grunde mein Beweis, der für die fummelige Natur von Fitch modifiziert wurde.

Unter Verwendung eines Fitch-Style Natural Deduktion Proof Editor und Checker , der mit forall x: Calgary Remix verbunden ist, kann ich wie folgt vorgehen:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Zeile 1 ist die Prämisse.

In Zeile 2 nehme ich "¬Q" an und beginne damit einen Unterbeweis, der nach Fitch-Notation eingerückt ist.

In Zeile 3 nehme ich, um letztlich auf einen Widerspruch zu kommen, „¬¬P“ an. Ich verwende ein doppeltes Negativ, da ich eines dieser Nicht-Symbole (¬) entfernen möchte, wenn ich einen Widerspruch (⊥) herleite.

In Zeile 4 eliminiere ich das doppelte Negativ aus Zeile 3, was mir "P" gibt.

In Zeile 5 verwende ich das „P“ in Zeile 4 und lasse den Konditional (→E) in Zeile 1 weg. Das nennt man auch modus ponens , d.h. bei „P“ und „P → Q“ kann ich auf „Q ".

Wenn ich Zeile 5 mit Zeile 2 kombiniere, kann ich einen Widerspruch (⊥I) in Zeile 6 einführen.

Der Widerspruch in Zeile 6 ermöglicht es mir, einen indirekten Beweis (IP) zu verwenden, um "¬P" in Zeile 7 zu erhalten.

In Zeile 8 kann ich den Unterbeweis, der die in Zeile 2 getroffene Annahme entkräftet, abschließen, indem ich eine Bedingung (→I) einführe, die auf dem Unterbeweis in den Zeilen 2 bis 7 basiert.

Aussagenlogik: Wie beweist man die Kontraposition im Fitch-System?
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