Bedeutung des "Pols" einer Übertragungsfunktion mit Zeitverzögerung

Ich glaube, die Eigenschaft, auf die Sie sich beziehen, ist

$$\mathcal{L}\left\{ f(t-\tau) \right\} = e^{-s\tau}\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}$$

Dies bedeutet, dass Ihre Übertragungsfunktion dieser Regel nicht wirklich folgt und keine wirkliche Zeitverzögerung hat:

$$H(s) = \frac{s}{as^2 + bs + c + de^{-sT}}$$

Das Lösen der inversen Laplace-Transformation für diese Funktion wird höchstwahrscheinlich numerische Methoden beinhalten. Was möglich ist , ist so etwas zu haben:

$$H(s) = \frac{s + de^{-sT}}{as^2 + bs + c}$$

Weil es getrennt werden kann in:

$$H(s) = \frac{s}{as^2 + bs + c} + e^{-sT}\frac{d}{as^2 + bs + c}$$

Sie können sehen, dass der zweite Term auch in Teilbrüche zerlegt werden kann, wie der erste Term. Die Pole des Nenners sagen dann etwas über die Stabilität der Übertragungsfunktion aus.

Stabilität im Allgemeinen

Die Formel für die inverse Laplace-Transformation lautet

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\lim_{T\to \infty}\int_{\sigma-jT}^{\sigma+jT} F(s)e^{st}ds$$

Wo$\sigma$größer als alle Singularitäten von gewählt wird$F(s)$auf der komplexen Ebene (in unserem Fall so, dass sie alle Pole umfasst).

Dieses Integral wird äquivalent durch den Cauchy-Residuensatz gelöst :

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ F(s) \right\} = \sum_{all\ poles\ of\ F(s)} Res\left[ F(s)e^{st} \right]$$ Denken Sie daran, dies ist allgemein , dh. es funktioniert immer für eine Übertragungsfunktion mit beliebigen Singularitäten!

Es spielt also keine Rolle, ob die Pole von einem Polynom oder von einer transzendenten Funktion stammen. Solange sich die Singularitäten alle in der Ebene der linken Hälfte befinden, enthält ihr Rest immer eine Exponentialfunktion, die auf 0 und nicht auf unendlich abfällt. Alle Singularitäten im RHP führen immer zu einer Exponentialfunktion, die explodiert.

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Anhang

Das kann man anmerken$e^{-sT}$kann in seiner Taylor-Reihe erweitert werden:

$$e^{z} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}$$

Das bedeutet also, dass Ihre Beispielübertragungsfunktion geschrieben werden kann als

$$\begin{align} H(s) &= \frac{s}{as^2 + bs + c + d\cdot (\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-sT)^n}{n!})} \\ &= \frac{s}{\sum_{n=0}^{+\infty} A_ns^n} \end{align}$$

Wo$A_0 = c + d$,$A_1 = b - d\cdot T$,$A_2 = a + d\frac{T^2}{2}$,$A_n = d\frac{(-T)^n}{n!}, \forall n>2$.

Diese Art von Übertragungsfunktion hat also überall "Pole". Dies soll veranschaulichen, dass Sie dies definitiv nicht wie eine normale Übertragungsfunktion zweiter Ordnung behandeln können.

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Anhang

Der Rest eines (einfachen) Pols ist

$$Res_{s=a}\left[ H(s) \right] = \lim_{s\to a} (s-a)F(s)$$

Für Pole mit Multiplizität$n$:

$$Res_{s=a}\left[ H(s) \right] = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{s\to a} \frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}\left( (s-a)^n H(s) \right)$$

Der Ausdruck für eine Zeitverzögerung (Totzeit) im Frequenzbereich exp(-sT) ist eine transzendente Funktion. Sie kann nicht mit konzentrierten Elementen modelliert werden und kann daher nicht direkt mit einer Übertragungsfunktion kombiniert werden, die aus Polynomen in "s" besteht. Zu diesem Zweck kann es jedoch durch den folgenden Ausdruck angenähert werden (Pade-Approximation zweiter Ordnung):

$$H_d(s)=\frac{1-\frac{sT}{2}+\frac{s^2 T^2}{12}}{1+\frac{sT}{2}+\frac{s^2 T^2}{12}}$$

Dies ist eine rationale Funktion (Allpass) und erscheint als Faktor in der Schleifenverstärkung und erscheint natürlich in der Übertragungsfunktion der geschlossenen Schleife. Hier kann er wie jeder andere Block in der geschlossenen Schleife behandelt werden.