Systemstabilität mit Nullpolen

Ich habe eine ziemlich einfache Frage würde ich sagen.

Ich weiß, dass Systeme mit echten Polen auf der rechten Seite der Ebene zwangsläufig instabil sind (zumindest für LTI-Systeme).

Aber ich bin verwirrt mit Systemen mit Polen am Ursprung und Polen auf der linken Seite des Flugzeugs.

Sagen wir zum Beispiel, wir haben diese Art von Systemen:

H 1 ( S ) = K S ( 1 + τ S )
H 2 ( S ) = K S ( 1 + τ 1 S ) ( 1 + τ 2 S )
H 3 ( S ) = K S 2 ( 1 + τ S )
τ ich > 0

Das sind nur Beispiele unter anderem. Wenn ich die Antwort auf einen Impuls analysiere, würde es für mich Sinn machen, dass H1 und H2 stabil sind und nicht H3, da die Antwort y3(t) eine Rampe enthalten würde.

Aber ... wenn ich die Reaktion auf einen Schritt überprüfe ... H1 und H2 sind nicht mehr stabil (Zeitverhalten enthält eine Rampe).

Meine Frage läuft also letztendlich darauf hinaus: In Bezug auf welche Art von Anregung nennen wir ein System im EE-Jargon stabil? Denn aus meiner Sicht können H1 und H2 sowohl als stabil als auch als instabil angesehen werden, je nachdem, ob die Anregung U (s) ein Impuls oder ein Schritt ist (z. B.).

Beziehen wir uns also nur auf die Übertragungsfunktion (auch bekannt als Impulsantwort) "wie sie ist" (für die Polanalyse) oder ... Entschuldigung, ich bin verwirrt.

TL;DR Gelten H1 und H2 als stabil und H3 als instabil?

EDIT: Meine Frage bezieht sich auf Open-Loop-Systeme.

Danke

H1 und H2 haben 1/s, was eine Integration ist, daher steigt der Ausgang für einen Einheitsschritt weiter an. Dies ist, was ein Integrator tut, aber es ist stabil.
Und H3 hat zwei davon.
Als System-TFs ist keiner von ihnen mit begrenzter Eingabe / begrenzter Ausgabe stabil. Wenden Sie einen Schritt auf einen beliebigen an und die Antwort geht ins Unendliche. Wenn es sich um TFs mit offenem Regelkreis handelt, wären die ersten beiden im geschlossenen Regelkreis mit Einheitsrückkopplung stabil (vorausgesetzt, K ist in H2 geeignet gewählt), der dritte jedoch nicht.
Ist ein stabiles System nicht ein System, das gegen einen konstanten Wert konvergiert? Wenn ich das also richtig verstehe, betrachten wir bei der Bestimmung der Systemstabilität durch Polanalyse nur die Pole der Übertragungsfunktion ohne Anregung? Es tut mir leid, dass ich das Gefühl habe, dass meine Kernfrage nicht klar beantwortet wurde.
Der Pol ist bei Null, also weder linke Ebene noch rechte Ebene. Dies gilt als „geringfügig stabil“, man könnte also sagen, nicht stabil und nicht instabil. BIBO-Stabilität ist eine strengere Definition, und da die DC-Verstärkung unendlich ist, sind die Systeme nicht BIBO-stabil. Aber ich weiß nicht wirklich, warum es notwendig ist, ein bestimmtes Etikett an ein System zu hängen; Die TF erzählt die komplette Geschichte.
@Andyaka: Ein (idealer) Integrator ist nicht stabil im Sinne von BIBO (bounded-input-bounded-output). Bei einem begrenzten Eingangssignal wird der Ausgang im Allgemeinen nicht begrenzt.

Antworten (2)

Die Übertragungsfunktion eines stabilen (LTI) Systems muss alle Pole in der linken Halbebene haben, dh jeder Pol S ∞ befriedigen muss

(1) Betreff ( S ∞ ) < 0

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann jedes begrenzte Eingangssignal | X ( T ) | ≤ K führt zu einem begrenzten Ausgangssignal | j ( T ) | ≤ L mit einigen positiven Konstanten K Und L . Dieses Konzept wird als BIBO-Stabilität bezeichnet . Pole auf der imaginären Achse, dh Pole mit Betreff ( S ∞ ) = 0 (1) nicht erfüllen, und folglich sind Systeme mit solchen Polen nicht stabil im Sinne von BIBO.

In einigen Kontexten werden Systeme mit Polen auf der imaginären Achse als marginal stabil bezeichnet , aber solche Systeme erzeugen im Allgemeinen unbegrenzte Ausgaben für begrenzte Eingangssignale.

So können marginal stabile Systeme (z. B. H1 / H2 mit einer Stufenanregung?) Beispielsweise eine Rampe zu einem gebundenen Signal erzeugen (ich nehme an, Sie bezeichnen ein gebundenes Signal als ein Signal, das über unendlich gegen eine Konstante konvergiert), aber dennoch berücksichtigt werden technisch stabil? Richtig? Es ist ein bisschen "interessant" in dem Sinne, dass ich nicht verstehe, was Stabilität im Grenzfall ist ... ist nicht stabil bedeutet "konvergiert zu einem Wert", von dem wir wissen, dass eine Rampe dies nicht tun würde. Bis zu diesem Punkt ist sein Vokabular aber immer noch ...
@Yannick: Aus praktischer Sicht sind marginal stabile Systeme instabil, da sie im Allgemeinen unbegrenzte Ausgaben für begrenzte Eingaben erzeugen. Bei bestimmten Eingangssignalen (z. B. einem Impuls) wird der Ausgang nicht explodieren, aber auch nicht abklingen.
@Yannick Du sprichst von Stufen, Rampen usw. Nichts davon hat mit dem Stabilitätskriterium zu tun, es geht um die Frequenzanalyse. Wenn Sie mit Sweep-Generator anregen, erhalten Sie eine Freq. Antwort. Alle DC-Signale und Amplitudenanstiege bei Sprung- oder Rampenanregung haben keine Bedeutung.

Der instabile Punkt befindet sich wie ein Attraktor in -1,0j, die Kurve muss in sicherer Entfernung passieren - Stabilitätsmarge oder Alphamax. Jede reine Integration dreht die Ebene um 90 Grad, H1 ist 1. Ordnung + 1x Integration. Wenn Sie sich das Nyqvist-Diagramm 1. Ordnung ansehen, befindet es sich im 4. Quadranten. Wenn Sie eine Integration hinzufügen, werden die gesamten Eigenschaften in den 3. Quadranten gedreht. Als Faustregel gilt: Die Anzahl der Pole bestimmt die Anzahl der xy-Achsenkreuzungen im Nyqvist-Diagramm.
In Bezug auf K können alle Systeme in der Regelung mit geschlossener Schleife stabil oder instabil sein. In unserem Jargon wird das System instabil, wenn es den Punkt der Nichtrückkehr passiert, es wird in Punkt -1 angezogen und wird nicht entweichen, das heißt, es beginnt mit der Eigenfrequenz des Systems zu schwingen.
Was Sie bei Sprungantworten suchen, ist eigentlich nicht die Stabilität, denn Ihr Gedanke ist, dass dieses System instabil ist, wenn die Antwort eine Rampe ist, die über alle Grenzen ansteigt, aber Sie liegen falsch .

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