Verzögerung und Stabilität in Systemen mit negativer Rückkopplung: Verwirrung-2

Wenn Sie Ihr System als Beispiel verwenden, ist es interessant zu betrachten, was während der ersten 10 Sekunden oder so nach der Anwendung eines Einheitsschritts am Systemeingang passiert (dies könnte Sie davon überzeugen, dass es viel einfacher ist, eine Stabilitätsanalyse auf der offenen Schleife!)

$\small 0<t<5$: Der Ausgang der Verzögerung ist Null; das Fehlersignal ist Eins, daher ist die Systemausgabe eine Einheitsrampe (Integral von Schritt = Rampe). Daher erreicht die Ausgabe 5 bei t = 5.

$\small t=5$: Die Einheitsrampe beginnt aus der Verzögerung herauszukommen

$\small 5<t<6$: Die Einheitsrampe wird von dem Einheitsschritt subtrahiert, daher fällt das Fehlersignal von 1 herunter und erreicht bei t = 6 Null. Da der Integratoreingang jetzt rampenförmig nach unten verläuft, ist der Integratorausgang keine Rampe mehr, sondern eine Parabel, die allmählich von der ursprünglichen Rampe abweicht (das Integral einer Rampe ist eine Parabel). Der Integratorausgang erreicht 5,5 bei t = 6.

$\small 6<t<10$: Das Fehlersignal ist jetzt negativ und ist immer noch eine negative Rampe mit einer Steigung von -1. Die Integratorausgabe nimmt parabolisch von 5,5 ab und erreicht –2,5 bei t = 10.

$\small t>10$: Die parabolischen Abschnitte des Integratorausgangs beginnen nun, aus der Verzögerung hervorzugehen und von dem Einheitsschritteingang abzuziehen. Beachten Sie, dass, wenn das Verzögerungsausgangssignal negativ wird, das Fehlersignal > 1 sein wird und das Integratorausgangssignal die frühere Rampe in der Größe überschreiten wird. Das System ist instabil.

Die Wahl einer kleineren Verzögerungszeit (oder die Anwendung einer partiellen Integratorverstärkung) macht das System stabil (probieren Sie es aus, wenn Sie einen ungeraden Tag Zeit haben!).

Wird dagegen die Verzögerung durch eine Verzögerung 1. Ordnung ersetzt, ist der Rückkopplungspfad weitaus weniger aggressiv. Der Ausgang der Verzögerung beginnt ab t = 0 exponentiell zu wachsen und beginnt sofort, das Fehlersignal zu reduzieren. Das bedeutet, dass das Fehlersignal ab t = 0 exponentiell abfällt und die Systemleistung wesentlich gemächlicher anwächst. Im schlimmsten Fall wird die Verzögerung durch einen Integrator ersetzt, was zu einem System 2. Ordnung ohne Dämpfung und einer oszillatorischen Reaktion führt. Dies ist kritische Stabilität, und aus Stabilitätssicht kann es nicht schlimmer kommen. Daher kann das System 2. Ordnung mit Polen in der LH-s-Ebene nicht instabil sein. In Bezug auf die elektrischen Komponenten ist es eine LC-Schaltung ohne R.

sarthak, zur ersten frage meine antwort: ja - im grunde ist deine beschreibung richtig. Man kann zeigen, dass – als Beispiel – für einen Einheitsintegrator H(s)=1/s die Stabilitätsgrenze bei einer Verzögerungsfunktion von exp(-s*1,57) liegt. Für größere (kleinere) Werte der Verzögerungszeit T=Pi/2=1,57sec zeigt die Schaltung wachsende (abfallende) Amplituden.

Im Falle eines RC-Blocks mit einer sehr großen Zeitkonstante ist die Fehlerspannung am Anfang ziemlich groß (wie Sie erwähnt haben) und der Integratorausgang steigt (theoretisch) auf sehr hohe Spannungen. Dies liegt daran, dass nur ein sehr kleiner Rückkopplungseffekt vorhanden ist. Daher stößt jede reale Schaltung an die durch die Versorgungsspannung gesetzten Grenzen. Dies bedeutet jedoch nicht , dass eine ideale Schaltung (ohne Versorgungsgrenzen) instabil wäre.

Aufgrund der großen Zeitkonstante des RC-Gliedes wird die große Fehlerspannung sehr langsam abgebaut (Laden des Kondensators) und die resultierende Transiente hat eine sehr große Periode. Aber die zeitliche Verschiebung zwischen beiden Signalen erreicht nie den kritischen Wert, der eine ansteigende Oszillation verursacht. Je näher dieser kritische Wert kommt, desto mehr Rückkopplung reduziert gleichzeitig die Fehlerspannung.

Dadurch ist die Schaltung immer stabil. Wie ich in meiner Antwort auf Ihre vorherige Frage erwähnt habe, sind solche Stabilitätsanalysen im Frequenzbereich einfacher zu verstehen.

Ein Integratorausgang hat eine Phasenverschiebung von 90 Grad zu jedem Sinuswelleneingang. Wenn dieser Ausgang (über einen RC) zum Eingang zurückgeführt wird, besteht das Kriterium, das die Oszillation bestimmt, darin, dass es eine Gesamtphasenverschiebung von 180 Grad geben muss.

Ganz einfach, ein RC-Netzwerk kann diese zusätzlichen 90 Grad nicht erzeugen, bis die Eingangsfrequenz unendlich ist. Das bedeutet, dass die Schaltung überschwingen darf, aber nicht instabil wird.