Ermitteln der Übertragungsfunktion einer Kompensatorschaltung ähnlich einer Typ-2-Kompensatortopologie

Ein Beitrag: Mit dem Satz von Thevenin lässt sich die Schaltung in eine einfachere umwandeln:

Nach dem Überlagerungsprinzip erfolgt die Ausgabe$V_{out}$Ist:

Sie können eine Übertragungsfunktion in geschlossener Form nicht beziehen$V_{out}$Und$V_{in}$. Diese Situation ähnelt dem, was in Steuersystemen passiert, wenn die Anlage zwei Eingänge hat: Sollwert und Störung. In diesem Fall kann das Prinzip der Überlagerung verwendet werden, was zu zwei getrennten Übertragungsfunktionen führt: eine bezieht den Ausgang auf den Referenzeingang und die andere bezieht den Ausgang auf den Störeingang.

Allerdings davon ausgegangen$V_{ref}$konstant ist, kann unter Berücksichtigung des Verhältnisses zwischen den Variationen dieser Größen (lineare Beziehung) eine Übertragungsfunktion bezogen auf den Eingang mit dem Ausgang erhalten werden:

Wo:

Diese Schaltung stellt einen Kompensator vom Typ 2 dar, der einen Null- und einen Ursprungspol aufweist. Ich kann seine ac-Übertragungsfunktion mit Thévenin erhalten, wie zuvor beschrieben:

$R_{th}=R_0||R_1$

$Z_1(s)=(R_2+\frac{1}{sC_2})||(\frac{1}{sC_1})$

$G(s)=-\frac{R_0}{R_0+R_1}\frac{Z_1(s)}{R_{th}+R_3}$

Wenn Sie entwickeln, erhalten Sie einen mäßig komplizierten Ausdruck mit hoher Entropie : Sie werden nicht sehen, wo sich die Verstärkung, Pole und Nullen befinden, und der Versuch, das Ergebnis in einer klaren und geordneten Form auszudrücken, erfordert etwas zusätzliche Energie. Allerdings ist hier nichts unüberwindbar. Wenn Sie die Mathematik in Ordnung machen und neu anordnen, sollten Sie erhalten

$G(s)=-\frac{R_0}{C_1+C_2}\frac{1+sR_2C_2}{s(R_0(R_1+R_3)+R_1R_3)(1+sR_2\frac{C_1C_2}{C_1+C_2})}$

Wir können diese Übertragungsfunktion auch mithilfe von Fast Analytical Circuits Techniques oder FACTs bestimmen, insbesondere wenn wir eine nicht unendliche Open-Loop-Verstärkung berücksichtigen möchten, die ich nenne$A_{OL}$. Ich beginne mit der Berechnung der DC-Übertragungsfunktion für$s=0$das heißt ich öffne alle Kondensatoren:

$G_0=-A_{OL}\frac{R_0}{R_1+R_0}$

Dann werde ich den Widerstand "gesehen" vom Kondensator bestimmen$C_1$während$C_2$ist offen (das gibt mir$\tau_1$) und der Widerstand "gesehen" vom Kondensator$C_2$während$C_1$ist offen (das gibt mir$\tau_2$). Ich kann diese Widerstände ermitteln, indem ich eine Stromquelle installiere$I_T$über die Anschlussklemmen von$C_1$und Spannung bestimmen$V_T$über die aktuelle Quelle. Das Verhältnis von$V_T$über$I_T$wird mir den Widerstand geben, den ich brauche. Wenn ich das richtig mache, sollte ich finden:

$\tau_1=C_1((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})$

$\tau_2=C_2((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})+R_2)$

Die Addition dieser beiden Zeitkonstanten ergibt$b_1=\tau_1+\tau_2$

Ich werde jetzt den Widerstand "gesehen" vom Kondensator bestimmen$C_2$Wenn$C_1$in seinen hochfrequenten Zustand versetzt wird (Kurzschluss). Dieser Widerstand ist einfach$R_2$. Der Koeffizient zweiter Ordnung wird dann durch bestimmt

$b_2=\tau_1\tau_{12}=C_1((R_3+R_1||R_0)(1+A_{OL})R_2C_2$

Der Nenner$D(s)$ist dann gleich$D(s)=1+sb_1+s^2b_2$. Der Zähler wird sofort durch Inspektion gefunden: Welche Bedingung in der transformierten Schaltung (in der Kappen durch ihre Impedanzdefinitionen ersetzt werden) würde verhindern, dass die Erregung eine Antwort erzeugt? Anders angegeben, wann$V_{in}$auf die Nullfrequenz abgestimmt ist, welche Bedingung eine sogenannte Ausgangsnull erzeugen kann$V_{out}=0\;V$? Wenn der Zweig aus$C_2$Und$R_2$ist ein transformierter Kurzschluss. Mit anderen Worten, die Wurzel dieser Reihenimpedanz ist$s_z=-\frac{1}{R_2C_2}$. Das ist es, wir haben unsere Übertragungsfunktion einschließlich der Auswirkung der Open-Loop-Verstärkung des Operationsverstärkers gleich:

$G(s)=G_0\frac{1+\frac{s}{\omega_z}}{1+b_1s+b_2s^2}$

Wenn ich mir jetzt die Niedrig-$Q$Annäherung ($Q<<1$), kann die Polynomform zweiter Ordnung durch zwei kaskadierte Pole ersetzt werden, die bei platziert sind$1/b_1$Und$b_1/b_2$. Wenn Sie alles entwickeln, neu anordnen und überlegen$A_{OL}$Annäherung an Unendlich, dann sollten Sie die folgende schöne Form mit niedriger Entropie finden:

$G(s)=G_0\frac{1+\frac{\omega_z}{s}}{1+\frac{s}{\omega_p}}$

in welchem:

$G_0=-\frac{R_0}{R_0+R_1}\frac{R_2C_2}{(C_1+C_2)(R_3+R_1||R_0)}$ $\omega_z=\frac{1}{R_2C_2}$ $\omega_p=\frac{C_1+C_2}{C_1C_2R_2}$

Dies ist wirklich eine Low-Entropie- Form mit einer umgekehrten Null im Zähler.

Die dynamische Antwort dieser Schaltung ist unten gezeigt

Wie Sie sehen können, haben wir eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den Ausdrücken.

Die FACTs sind in Sachen Ausführungsgeschwindigkeit wirklich unschlagbar. Sie erhalten sehr schnell ein Low-Entropie- Format (ein Format, in dem Sie Gewinne, Pole und Nullen sofort sehen). Wenn Sie interessiert sind - und ich ermutige Sie alle, sich diese Fähigkeit anzueignen - schauen Sie sich bitte an

http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/PPTs/Chris%20Basso%20APEC%20seminar%202016.pdf

Und

http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Downloads/Book/List%20of%20FACTs%20examples.pdf

Vernachlässigen Sie auch nicht die Schleifenverstärkung des Operationsverstärkers und seine internen Pole, wenn Sie auf eine hohe Übergangsfrequenz zielen. Schauen Sie sich dieses Papier an, das kürzlich unter http://www.how2power.com/newsletters/index.php veröffentlicht wurde , Sie haben mehr Details als hier:

http://www.how2power.com/pdf_view.php?url=/newsletters/1701/articles/H2PToday1701_design_ONSemi.pdf

http://www.how2power.com/pdf_view.php?url=/newsletters/1702/articles/H2PToday1702_design_ONSemi.pdf